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1、2003年8月安庆师范学院学报(自然科学版)Aug.2003第9卷第3期JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)Vol.9NO.3经济学中的贝叶斯模型唐燕玉(安庆师范学院学报编辑部,安徽安庆246011)摘要:本文先对离散型和连续型两种形式的贝叶斯定理加以阐述,着重对离散型贝叶斯定理加以论证;通过三个实例,分别论述了贝叶斯定理在产品的质量监督、成本预算,以及新产品的市场促销等方面的具体运用;最后总结三个实例,建立经济学中的贝叶斯模型。关键词:离散型;条件密度;逆概公式;贝叶斯模型中图分类号:O212.7文献标
2、识码:A文章编号:1007-4260(2003)03-0005-04贝叶斯定理,即为贝叶斯公式,通常能用离q(y)g/(x/y)f/(y/x)=∞(1.3)散型和连续型两种形式来表示。∫q(y)g/(x/y)dy-∞贝叶斯定理的离散(事件)形式:其中q(y)是y的边缘密度。假设A1,A2⋯Ak是互不相容的事件,它们之值得注意的是,只要将与的位置互换一kk和UAi包括事件B,即BUAi,则有下,相应的x与y的位置也互换,从(1.2)立即就i=1i=1P(Ai)P(B/Ai)得到(1.3),因此这两个公式实质上是一样的。如P(Ai/B)=k将(1
3、.2),(1.3)中的随机变量,改为随机向量,∑P(Ai)P(B/Ai)i=1P(x),q(y)仍然是和各自的边缘密度,i=1,2,⋯k(1.1)f/(y/x),g/(x/y)是相应的条件密度,变量x,或可叙述为:y与随机向量,相应的也是向量,贝叶斯公式∞若A1,A2,⋯为一列互不相容的事件,且UAi(1.2),(1.3)仍然成立。i=1(1.3)式的右端只需要知道的边缘密度和=对的条件密度。对于离散型的随机向量,只要将P(Ai)>0,i=1,2,⋯分母中的积号改为求和号,(1.3)式还是成立的。则对任一事件B,有本文只限于讨论离散型
4、(事件型)的贝叶斯P(Ai)P(B/Ai)P(Ai/B)=∞定理在经济学中的应用。下面先对本定理进行逻∑P(Ai)P(B/Ai)i=1辑论证;随后再举一些实例,并加以分析,说明它i=1,2,⋯,在经济学中的广泛用途;最后建立贝叶斯定理在贝叶斯定理的随机变量形式:假定随机变量经济学中应用的数学模型。,的联合分布密度是P(x,y)=1.对离散[事件]型贝叶斯定理的证明P(x)f/(y/x),其中P(x)是的边缘密度,而证明:由条件概率的定义知f/(y/x)是当=x时,对的条件密度P(BAi)P(Ai/B)=又,A1,A2,⋯,Ar是互不P(B)g
5、/(x/y)可表示为(当=y时)相容的事件,且P(x)f/(y/x)g/(x/y)=∞dx(1.2)P(Ai)>0,i=1,2,⋯k∫P(x)f/(y/x)-∞利用全概公式,得类似地,有收稿日期:2003-02-10作者简介:唐燕玉(1951-),女,安徽枞阳人,安庆师范学院数学系副教授。·6·安庆师范学院学报(自然科学版)2003年k24.62%P(B)=∑P(Ai)P(B/Ai)i=1P(A3)P(B/A3)P(A3/B)=4=18/65≈而P(BAi)=P(Ai)P(B/Ai)∑P(Ai)P(B/Ai)P(Ai)P(B/Ai)i=1
6、所以P(Ai/B)=k30.80%∑P(Ai)P(B/Ai)i=1P(A4)P(B/A4)P(A4/B)=4=14/65≈i=1,2,⋯k∑P(Ai)P(B/Ai)2.贝叶斯定理在经济学中的应用i=1贝叶斯定理是一个实用性很强的定理,无论21.50%是在科学研究上,还是在生产实践中,它都是人从上面的计算结果我们可以看到,虽然第四们解决一些疑难问题的有力工具。下面让我们看条流水线的产量最高,但它所应负担的经济责任一些实例。却是最小。这是因为它生产的次品量在总次品量例1:某工厂有四条流水线生产同一种产品。中占的比重最小的缘故。很显然,厂方如按逆概四条流水线的产量分别占总
7、产量的15%,20%,公式计算出的P(Ai/B),(i=l,2,3,4)的大小来30%和35%,又这四条流水线的不合格率依次为决定每条流水线应负经济责任的大小,这样的处0.05,0.04,0.03及0.02,若该厂规定,出了不合理结果是令人心服口服的。格品要追究有关流水线的经济责任,现在在出厂这个例子是贝叶斯定理应用在产品质量监的产品中任取一件,恰为不合格品。但该件产品督方面的一个非常典型的实例。除此以外,下面哪一条流水线生产的标志已经脱落,问厂方如何我们再看一个贝叶斯定理应用在成本预算方面处理这件不合格品比较合理,即每条流水线应承的例子。担多大的经济责任?例2
