离心率相同的椭圆性质初探

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1、５６数学通报２０１４年第５３卷第５期离心率相同的椭圆性质初探———对《数学通报》２０９２号问题的探究徐德同（江苏省常州市教育科学研究院２１３００１）数学通报２０１２年第１２期“数学问题解答”第证明２２２２２０９２号问题：ｘｙｘｙ设Ｅ１：２＋２＝ｍ、Ｅ２：２＋２＝ｎ（ａ＞ｂ＞０，ｘ２２ｘ２ａｂａｂｙ如图（１），给定椭圆Ｅ１：２＋２＝１、Ｅ２：２＋ａｂａｎ＞ｍ＞０），设点Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０≠０）是Ｅ１上任一２２２ｙｘ０ｙ０ｘ０ｘｙ０ｙｂ２＝２（ａ＞ｂ＞０），过Ｅ２上任一点Ｍ引Ｅ１的两条点，所以２＋２＝ｍ．

2、切线ＡＢ的方程为２＋２ａｂａｂ切线分别交Ｅ２于Ａ，Ｂ两点．求证：直线ＡＢ过原＝ｍ，［１］点Ｏ．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｘ０ｘｙ０ｙ烄２＋２＝ｍ，ａｂ由烅消去ｙ得２２ｘｙ２＋２＝ｎ，烆ａｂ２４４２４２（ｂ２ｘ０ｂ）ｘ２２ｍｘ０ｂａｂｍ２２＋２２－２ｘ＋２－ａｂｎ＝０，ｙ０ａｙ０ｙ０４２ｍｘ０ｂ２２２ｘ１＋ｘ２１ｙ０ｍｘ０ａｂ所以＝·２４＝２２２２２２２ｘ０ｂａｙ０＋ｂｘ０图（１）ｂ＋ｙ２２０ａ问题给出的一组共轴椭圆（下同）有相同的离ｍｘ２２０ａｂ＝２＝ｘ０，心率，具有相同离心率的椭圆有哪些性质

3、呢？笔２［ｂ２（ｍ－ｘ０）］＋ｂ２２ａ２ｘ０ａ者对此进行了研究，得到了一些有趣美妙的结论．性质一如果Ｅ１，Ｅ２是具有相同离心率的即ＡＢ的中点为Ｐ，所以ＡＰ＝ＢＰ．又当ｙ０两个共轴椭圆，如图（２）所示．过Ｅ１上任一点Ｐ＝０时，显然有ＡＰ＝ＢＰ．性质一得证．引Ｅ１的切线交Ｅ２于Ａ，Ｂ两点，则性质二如果Ｅ１，Ｅ２是具有相同离心率的ＡＰ＝ＢＰ．两个共轴椭圆，如图（３）所示．直线ｌ与Ｅ２、Ｅ１依次交于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，则｜ＡＢ｜＝｜ＣＤ｜．图（２）图（３）２０１４年第５３卷第５期数学通报５７证明所以ｙ１－ｙ２＝２

4、２２２ｘｙｘｙ２ａ４ｙ２ａ４２ａ４ｂ２ｍ２设Ｅ１：＋＝ｍ、Ｅ２：＋＝ｎ（ａ＞ｂ＞０，（－０ｍ）２ｙ０）（２２）ａ２ｂ２ａ２ｂ２２－４（ａ＋２２２－ａｂｎ槡ｘ０ｂｘ０ｘ０４２ｎ＞ｍ＞０），当直线ｌ斜率不存在时，性质二显然２ａｙ０ａ＋２２成立；当直线ｌ的斜率存在时，设ｌ的方程为ｙ＝ｂｘ０２２２２２２ｋｘ＋ｈ，设２ａｙ０ｎ－ａｂｍ＋ｂｘ０ｎ２ａ２槡ｘ０Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），Ｂ（ｘ３，ｙ３），Ｃ（ｘ４，ｙ４），＝４２．２ａｙ０ｙ＝ｋｘ＋ｈ，ａ＋ｂ２ｘ２烄０由ｘ２２２２２烅＋ｙ＝ｎ，ｘ０ｙ０２２ｘ０烆

5、ａ２ｂ２因为２＋２＝ｍ，所以ｙ０＝ｂ（ｍ－２），ａｂａ得（ａ２２２）ｘ２２２２２２ｋ＋ｂ＋２ａｋｈｘ＋ａｈ－ａｂｎ＝０，ｂ代入得ｙ１－ｙ２＝２ｘ０槡ｍｎ－ｍ．２ａｍｘ１＋ｘ２ａｋｈ所以＝－，２２２２ａｋ＋ｂ１所以Ｓ△ＡＢＯ＝·ｘＥ·ｙ１－ｙ２ｘ２２３＋ｘ４ａｋｈ同理可得＝－，２２２２ａｋ＋ｂ＝ａｂ槡ｍｎ－ｍ为定值．所以线段ＢＣ的中点和线段ＡＤ的中点重合，故又当ｘ０＝０时，Ｓ△ＡＢＯ＝ａｂ槡ｍ槡ｎ－ｍ．ＡＢ＝ＣＤ．性质二得证．综上所述，三角形ＡＢＯ的面积为定值．性质性质三如果Ｅ１，Ｅ２是具有相同离心率的三得

6、证．两个共轴椭圆，如图（４）所示．过Ｅ１上任一点Ｐ性质四如果Ｅ１，Ｅ２是具有相同离心率的引Ｅ１的切线交Ｅ２于Ａ，Ｂ两点，则三角形ＡＢＯ两个共轴椭圆，如图（５）所示．过Ｅ２上任一点Ｍ的面积为定值．引Ｅ１的切线ＭＰ、ＭＱ交Ｅ２于Ａ，Ｂ两点（Ｐ，Ｑ为切点），设Ｅ２上Ｍ点处的切线为ｌ．则ＰＱ∥ＡＢ∥ｌ．图（４）２２２２ｘｙｘｙ证明设Ｅ１：２＋２＝ｍ、Ｅ２：２＋２＝ｎ（ａａｂａｂ＞ｂ＞０，ｎ＞ｍ＞０），设点Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０≠０）是Ｅ１图（５）ｘ０ｘｙ０ｙ证明由性质一知ＰＱ∥ＡＢ．上任一点，则切线ＡＢ的方程为２

7、＋２＝ｍ．设ａｂ下证ＰＱ∥ｌ．ａ２ｍ２２２２直线ＡＢ与ｘ轴交于点Ｅ，令ｙ＝０得ｘＥ＝．设Ｅ：ｘ＋ｙ＝ｍ、Ｅ２：ｘ＋ｙ＝ｎ（ａ＞ｂ＞０，ｘ１２２２２０ａｂａｂ设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｎ＞ｍ＞０），设点Ｍ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０≠０）是Ｅ２上任一烄ｘ０ｘｙ０ｙｘ０ｘｙ０ｙ２＋２＝ｍ，点，所以点Ｍ处切线ｌ的方程为２＋２＝ｎ，从ａｂａｂ由消去ｘ得烅２２２ｘｙｂｘ０２＋２＝ｎ，而点Ｍ处切线ｌ的斜率为ｋｌ＝－２．设Ｐ（ｘ１，烆ａｂａｙ０４２４４２２（ａ２ａｙ０）ｙ２２ａｙ０ｍａｂｍ２２ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２

8、），所以点Ｐ，Ｑ处切线ＭＰ、ＭＱ的＋２２－２ｙ＋２－ａｂｎ＝０，ｂｘ０ｘ０ｘ０ｘ１ｘｙ１ｙｘ２ｘｙ２ｙ方程分别为２＋２＝ｍ和２＋２＝ｍ，由于ａｂａｂ５８数学通报２０１４年第５３卷第５期点Ｍ在切线上，故当平行线的斜率存在时，设ｌ的方程为ｙ＝ｘ１ｘ０ｙ１ｙ０ｋｘ＋ｈ，ｌ与Ｅ２的另一交点为Ｉ，如图（８）．２＋２＝ｍ……①；ａｂｘ２ｘ０ｙ２ｙ０２＋２＝ｍ……②，ａｂ（ｘ）ｘ（ｙ）ｙ２－ｘ１０２－ｙ１０②－①得２＋２＝０，所以ａｂ２ｙ２