一个高精度数值积分公式

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1、o.,o.牛5卷第4期Vl5N4计算物理.Jeeeer198s年12月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIOEA工PHYSICSDmb../片~申申申片、壬于壬于研究简报、~,~~~,/一个高精度数值积分公式吴新元(南京大学)198了年12月8日生}父到摘要本文讨论了一个具有高精度的求积公式·/·一,/〔Z产,()、一(。一)7,()+16、乡)+:、(。)+(,一)(,(卜,(的)3。丁)((誉))/+E〔j’其中,二〔,〕(6)一、(;)武;<乃蕊韶及其复合公式··‘·,1一,“一(卜,,(+2,“)+7、(一卜2*人)、一6,(洲、)伽雌落溶、一‘抓了272··。(“一,(

2、f(,一f‘“,3。+厂〔,〕)/)/这里:一6),·二〔,卜(。)<:<“撇赢冲而h一b一。2,,()/,。它具有辛普生公式的一切优点但精确度比辛普生公式高2阶,,欲值试验表明这是一个非常有效的求积公式4745卷一、引言,。众所周知计算定积分的辛普生公式是最常用的数值积分方法它的特点是精确度比较,,。高没有系数和求积基点的舍入误差且可以使用递推公式前一次在积分区间分点上计算一,,。的结果在后一次计算中还可以使用这就使得计算的实际速度加快了但是辛普生公式的。代数精确度仅仅是3阶利用被积函数的导数使求积公式提高精确度的想法早就有人提到},。,,(见土〕〔2〕)不过要以增加复杂性和对被积函数提出更

3、高的要求为代价因此这类方法很难将到推广,也很少引人注目。然而巧妙地利用这个思想却可以较少的工作量获得较高的。。代数精确度这正是本文将介绍的一个数值积分公式这个公式继承了辛普生公式的上述优。一。点,!、2而代数精确度提石了阶数值试验表明这是一个卜分有效的求积公式二、公式的推导考虑如下形式的求积公式/“了(’“一h、f、+/l2?1){{艺刀互f:十爪户(.,,h;、二扩;、x;二a;01,2而刀汀〕为求积其中=(b一a)/2f=j(.l’=f’()二+il。公式(t)的余项,,丫,i二。,,2。现确定公式(1刀(1)使得它的代数精确度尽可能地商为此令)中的系数.·’’厂,,,,,:/劣〕=0川=

4、012⋯通过计算不难定出7,.16,.,八=厅,万,一,=-一la’10L、,,:::11。,:1一、一。洛一.于是我们得到求积公式一’“〔‘612);了十了+了厂〕+‘一f广:〕又2){,-/(x一念云汀‘“’叮。〔“〕,f()x二。“转代数精确度为5阶根据广义皮亚诺(peano)定理取e(劝-(一)x一二,匕二*:“()(一)可得余项,一刃〔·‘·/一”7(“’二:卜{:()dx‘(右,(3)耘2,但,求积公式()从表面上看需要用到被积函数的导数值是它的特殊形式启示我们..日..月.口.团.‘门.‘J‘.‘-洲‘闷,~“一.冲.臼.曰..‘J..一一.,,’,若用三叔(x厂rl戈玄)Hcr

5、mit目击公式亦可导出公式(2)值构造求不:4期吴新元一个高精度数值积分公式475它,a,,特别适合于使用复合形式此时公式中所含的区间〔劫内的导数项可以相互抵消从,,’而使得公式(2)的实际计算量大大减少与复合辛普生公式相比在形式上只增加了被积’’。函数在积分区间端点的导数值f(a)与/乙)以下我们总是假定被积函数f(二)在积分(区间端点的导数。是存在的三、复合公式将积分a,n,区间〔的分成个相等的小区间并没h一(b一a2:)/则分点为义、a,苦=0,1,2,,祝二+fh⋯、:一:,、2‘,对每个小区间〔〕应用公式(2)则有J扁‘了‘、一2、4Z二〔一+一+〕十,、一、、〕一Ij(劝d.x.艺

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7、口二丫叹:二,:它们都是相应于〔份的分割叮〔义礴J-尹,〕的一个黎曼,劣2月一艺.,,l,2·:/Reaon,,”,,J2或了者界收敛丁积分,()(im)和由定积分定义知飞*二11{}’。,。/4/‘/。(6d于是。。J的组合()也收敛到,(。l。。复合公式(4)收敛又假设,,

8、a,{{在〔杭内连续,则我们容易导出复合求积公式(4)的余项为二:〔6),·<;<〔、〕。一脚(t)(6)赢四数值试验算定积分。05‘一J{义。Zx.,,注此处证明复合求积公式(4)的收敛性时拼;月悠到佘项E〔f〕即不需要假设x)在〔a的6阶连续导八上具有,,,数而只要假设f(二)在〔ab〕上连续47G计算物理5卷一。‘要求误差不超过sx10‘“’eos1,,解因为If(雪)1二!引《所以由不等式