广义力与广义位移的数证明

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1、
第30卷
第1期延安大学学报(自然科学版)Vol
30
No
1

2011年3月JournalofYananUniversity(NaturalScienceEdition)Mar
2011广义力与广义位移的数学证明12*常燕虹,郑海军(1.延安职业技术学院;2
延安市宝塔区枣园中学,陕西延安716000)摘
要:利用数学中微分的分析思想,对广义力间功的互等进行了数学证明;探讨了力的分布形式与力系的等效转化。关键词:广义力;广义位移;数学证明中图分类号:O175,O316

文献标识码:A

文章编号:1004
602X(2011)01
0014

2、
03

文献[1]以梁为例证明了功的互等定理。原始定理阐述了两个集中力力系之间功的互等,其相应的数学表达式为mn
Fpi
ij=
Fsj
jii=1j=1(
ij是力系Fsj在Fpi作用点处沿Fpi方向引起的位图1
简支梁先加集中力系后加布载荷移;
ji是力系Fpi在Fsj作用点处沿Fsj方向引起的位移)对于广义力,如分布载荷q、力偶矩M,功的互等定理也是成立的。本文首先以梁为例,证明集中力力系与分布载荷、力偶矩之间功的互等,然后从数学的角度对梁的微段进行分析,对原始的功的互等定理做进一步的分析阐述。图2
简支梁先加分布载荷后加集中力系态是相同的,

3、故两种情形下所引起的应变能相等,即1
广义力间功的互等的证明V
(F
q)=V
(q
F)1.1
分布载荷q与集中力力系之间功的互等应用能量守恒原理有mm记集中力力系为1
1V
(F
q)=
Fpiw1(xi)+
Fpiw2(xi)+
0qi=12i=12Fpi(xi)(i=1,2,...,m),(x)w2(x)dx其中xi表示力在梁上作用点的坐标;w1(x)为集m-
11-
中力力系Fpi(xi)(i=1,2,...,m)加在梁上引起的挠V
(q
F)=
0q(x)w2(x)+
Fpiw1(xi)+
0q2i=12度,w2(x)为分布载荷q(x)加

4、在梁上引起的挠度.(x)w1(x)dx在小变形的情形下,考察两种加载过程:一种是所以先加Fpi(xi)(i=1,2,...,m)后加分布载荷q(x)m-
(图1);另一种是先加分布载荷q(x)后加Fpi(xi)(ii
=1Fpiw2(x)=
0q(x)w1(x)dx(1)=1,2,...,m)(图2)。当q(x)=const.时,上式可改写为m对于线弹性问题,根据叠加原理,变形状态与加-

Fpiw2(x)=q
0w1(x)dxi=1载顺序无关.因此,两种加载过程产生的最后变形状收稿日期:2010
12
20作者简介:常燕虹(1969
),女,陕西延

5、安人,延安职业技术学院讲师。*为通讯作者

第1期














广义力与广义位移的数学证明15-
其中
0w1(x)dx为挠度曲线下的面积,即为q由定积分的定义,上式的右边实际上是一个分对应的广义位移。割、求和、取极限的过程。1.2
力偶矩集中力力系之间功的互等记w3(x)为力偶矩M加在梁上引起的挠度。图3
简支梁先加集中力矩,后加集中力系图5
分布载荷对简支梁横向位移一挠度做功的离散分析图对于区间[0,l],做任意一个分割T:0=x1

6、集中力系,后加集中力矩当分割的模
T
=1
j
n
xj很小时,对任图(3)为先加力偶矩M,后加集中力力系为Fpi一小区间[xj,xj+1],分布载荷可视为一集中力(xi)(i=1,2,...,m);图(3)为先加集中力力系为Fj=q(xj)
xjFpi(xi)(i=1,2,...,m)后加,力偶矩M。设力偶矩该区间内分布载荷的功M的加矩点坐标为a,同1.1的分析,可得图(4)情dWj=Fjw1(xj)形下应变能为:由于功的互等原理本身就是在线弹性范围内和1dw3m1小变形条件下的高度近似,因此,我们可将分割TV
(M
F)=Mx=a+
Fpiw1(

7、xi)+2dxi=12做得足够细,使误差足够的小(在实际的工程问题dw1中,也常用数值方法进行误差可控的近似计算)。Mx=adx于是,分布载荷q的功在误差很小时可近似表达为nn图(4)情形下应变能为-

0q(x)w1(x)dx
dWj=
Fjw1(xj)mdwj=1j=1113V
(F
M)=
Fpiw1(xi)+Mx=a+代入(1)式,就有i=122dxmnm
Fpiw2(x)=
fjw1(xj)
Fpiw3(xi)i=1j=1i=1这又回到了最初功的互等定理的数学表达式,由V
(M
F)=V
(F
M)得根本原因是,在梁的一微段[xj,xj+

8、1]内,我们可以将mdw1
Fpiw3(xi)=Mx=a(2)分布载荷视为集中力来处理,并且保证误差很小。i