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1、第23卷第6期滨州学院学报2007年12月Vol.23,No.6JournalofBinzhouUniversityDec.,2007高等数学解题过程中的变通性思维窦慧(滨州学院数学与信息科学系,山东滨州256603)摘要:通过对一题多变的求解与思考,引发学生在解题过程中加深对高等数学变通性思维能力的训练与培养.关键词:高等数学;解题;变通性思维中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1673-2618(2007)06-0074-03变通性思维是数学创造性思维的重要部分,在高等数学教学过程中,更要注重创造性思维能力的训练.通过一题多变,训练思维的变通性、流
2、畅性、独特性,培养学生的习惯性发散思维能力,引发学生一题多变,不断追求新知,从而达到培养创新能力的目标.在高等数学定积分应用的教学过程中,对平面图形的面积和旋转体体积的计算,通过一题多变,既训练了学生的变通性思维,又对基础知识的理解和巩固起到了良好的作用.1问题原型[1]例1(2005年考研真题)过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.1lnx01解(1)设切点坐标为(x0,lnx0),则y
3、x=x==,得x0=e.所以切线方程为y=x,所0x0x0e以12yy1y1e
4、A=(e-ey)dy=[e]0-e[]0=-1.0221(2)设y=x,x=e,x轴所围图形绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积为V1,y=lnx,x=ee,x轴所围图形绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积为V2.则1111222y2521V=V1-V2=r1dy-r2dy=((e-ey)dy-(e-e)dy)=(e-2e+).000062注求旋转体体积的关键是求旋转半径r,而求旋转半径r的关键是明确旋转轴.2问题变型(一)本部分着重讨论旋转轴的变化及推广,旋转轴分别为x轴、与x轴平行的直线、y轴及与y轴平行的直线,平面图形绕它们旋转所得旋转体体积的求法.(1)
5、平面图形绕x轴旋转,旋转半径r为平面图形的边界曲线到x轴的距离.2例2把抛物线y=4ax(a>0)及直线x=x0(x0>0)所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转收稿日期:2007-05-10作者简介:窦慧(1974),女,山东惠民人,讲师,主要从事高等数学教学、泛函微分方程研究.第6期窦慧高等数学解题过程中的变通性思维75体的体积.解该体积即为曲线y=4ax、x=x0及x轴所围的图形绕x轴旋转所得,因此体积为xxx020202V=rdx=ydx=4axdx=2ax0.000(2)平面图形绕与x轴平行的直线y=y0旋转,旋转半径r为平面图形的边界曲线到直线y=
6、y0的距离.例3过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D,求D绕直线y=-1旋转一周所得旋转体的体积V.1解由例1得该体积即为由曲线y=lnx、直线y=x及x轴所围的图形绕y=-1旋转所得,设e1y=x、y=-1、y轴及x=e所围的图形绕y=-1旋转所得旋转体的体积为V1;x轴、y轴、x=1及ye=-1所围的图形绕y=-1旋转所得旋转体积为V2;y=lnx、x=1、x=e及y=-1所围的图形绕y=-1旋转所得旋转体的体积为V3.则e1ex2221V=V1-V2-V3=(-(-1))dx-(0-(-1))dx-(lnx-(-1))dx=e
7、.0e013(3)平面图形绕y轴旋转,旋转半径r为平面图形的边界曲线到y轴的距离.22例4求由抛物线y=x,x=y围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.2y=xx=12解,所以两抛物线交于(1,1).设y=x、y轴及y=1所围图形绕y轴旋转所得2x=yy=12旋转体的体积为V1,x=y、y轴及y=1所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为V2.则所求体积为11112243V=V1-V2=r1dy-r2dy=(ydy-ydy)=.000010(4)平面图形绕与y轴平行的直线x=x0旋转,旋转半径r为平面图形的边界曲线到直线x=x0的距离.例1就是这一类问题.3
8、问题变型(二)本部分讨论平面图形边界曲线方程含有参数,结合一元函数最值问题的求法,求旋转体体积的最值问题.22例5(2000年考研真题)设曲线y=ax(a>0,x0)与y=1-x交于点A,过坐标原点O和A2的直线与曲线y=ax围成平面图形D,问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大?最大体积是多少?2y=ax1aax解当x0时,由解得x=,y=,故直线OA的方程为y=,所2y=1-x1+a1+a1+a112221+a221+aax242
