谈谈数学思维的变通性

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1、谈谈数学思维的变通性江苏省苏州市木渎第二高级中学赵伟215101数学问题千变万化，要想既快又准的解题，必须具有思维的变通性。我们所遇见的数学题许多是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案，恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。数学教学的目的在于培养学生的思维能力，而培养良好思维品质的途径，是进行有效的思维训练，下面就从三个方面谈谈数学思维的变通性问题。一、善于观察观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现

2、问题和解决问题的前提。每道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。例1、已知数列{an}满足，，，求．【解析】如果不加思索的去分母，这样下去是比较麻烦的。如果留心观察一下已知等式就容易得到，即，所以数列{}是首项为和公差为的等差数列，因此，再利用累乘法可得．显然在去分母和不去分母之间作出正确选择之后，问题就容易解决了，而关键是要仔细观察，不要盲从。可见，善于观察是解决问题的一个重要环节。例2、若双曲线y2-x2=1与曲

3、线有唯一的公共点，求实数的值．【解析】本题的实数应该有6个取值，很容易漏解。由，可得，即，再考虑直线与双曲线相切和与渐近线平行的两种情形分别得到实数的4个取值。倘若没有注意到对分母的限制条件，忽视了，就会出现漏解。所以对题目进行深入的、细致的、透彻的观察分析，是保证思维严谨性的基本前提。例3、已知适合不等式

4、x2－4x+p

5、+

6、x－3

7、≤5的x的最大值为3.求p的值．【解析】若从不等式的表相考虑，直接讨论去绝对值符号，找出对应方程的根点，再对根点进行大小讨论来化解问题，显然不简单。如果对题设仔细的观察分析，从不等式解的最大值含义去理解，则有

8、x－3

9、=3－x，

10、问题立刻得到简化。因为适合不等式

11、x2－4x+p

12、+

13、x－3

14、≤5的x的最大值为3，所以x－3≤0，故

15、x－3

16、=3－x.若

17、x2－4x+p

18、=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x

19、x≤3}的子集，所以

20、x2－4x+p

21、=x2－4x+p.原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.二、善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有

22、关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例4、已知定义域、值域均为R的函数为奇函数，且函数y=f(x)存在反函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，求的值．【解析】这是一个抽象函数的问题，但可以通过联想熟悉的一些基本函数，从中找出它的一个原形，而将它具体化。例如可为函数，而就可为函数，那么函数就可为，所以．由此可见，联想可使问题变得简单。AOFF1Pxy例5、双曲线，F是右焦点,A（），是该双曲线右支上任意一点，求的最小值．【解析】本题主要考查双曲线的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性。此问题涉及到双曲线的右焦点，如果联想不到左焦点就不易解决问题

23、，这细微之处是“一两拨千斤”的关键所在。将A点与双曲线的左焦点连接交双曲线右支上一点，则这个点使得的值最小。由双曲线的定义可得，所以，故=．例6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，求此球的体积．【解析】若联想到正方体的模型，将此问题放到正方体中的正四面体去考虑，问题就会迎刃而解。由于正方体的内切球与该正方体中的正四面体的六条棱都相切，则正方体的边长为，球的半径为，所以球的体积为．显然，联想是问题转化的纽带和桥梁，通过联想使问题可以在我们熟悉的情景中得到很好的解决。三、善于将问题进行转化解题过程是通过问题的转化才能完成的，转化是解数学题的一种十

24、分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例7、设不等式对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围．【解析】：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论．然而，若变换一个角度以m为主元，记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[－2，2]内恒负时参数应该满足的条件。要使，只要使即从而解得。显然，本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理

25、的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所