重点全国高中数学解题思维策略一数学思维变通性

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1、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决

2、它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例如，求和.这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就解决了。（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例如，解方程组.这个方程指明两个数的和为

3、，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程的两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简单。（3）善于将问题进行转化数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。8/8可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例如，已知,,求证、、三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要

4、证的结论，可以转化为：思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。二、思维训练实例（1）观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生

5、不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例1已知都是实数，求证思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而xyO图1－2－1左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设如图1－2－1所示，则在中，由三角形三边之间的关系知：当且仅当O在AB上时，等号成立。因此，思维障碍很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距

6、离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。8/8鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。例2已知，试求的最大值。解由得又当时，有最大值，最大值为思路分析要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。思维障碍大部分学生的作法如下：由得当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条

7、件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例3已知二次函数满足关系，试比较与的大小。xyO2图1－2－2思路分析由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解（如图1－2－2）由，知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线它与距离越近的点，函数值越小。8/8思维障碍有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。

8、而此题函数的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲