均分田地,田埂最短问题

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1、均分田地，田埂最短问题数学研发论坛，gxqcn编辑整理摘要：对一个有限平面区域，进行面积等分，要求分界线总长最短。本文整理了论坛对该问题的交流的关键点，以及形成的最终结论，引导大家思考这类问题。关键词：等面积划分；长度最短0前言2013年快结束了，突然间，流行个热词——“土豪”，并争相与其做朋友。而一个世纪前（甚至更久远），大家的心声则是“打倒土豪，分田地”！三年多前，数学研发论坛，也曾轰轰烈烈地举行了一场“土地改革”运动。但在数学爱好者眼里，总喜欢把问题复杂化（最终仍是为了简单化），但却更有趣了：要求每户分得地块面积严格相等；要求各户间地块间界定的

2、田埂总长最短。这与当今提倡的“公平公正”、“厉行节约”的口号是多么的贴切啊。1问题描述有一块田地需要分给n户，要求各户分得面积相等，田地内部不同户分得的区域将建田埂以分隔（原待分地块已有田埂圈定）。现为实现耕地面积最大化，要求新建田埂总长度最小。请问如何规划？注：1、分后新修的田埂对所分面积均等性的影响忽略不计；2、允许“孤立”田埂的出现，如内部可出现一个“圆田埂”；3、允许各户分得的田地不连通，即块数可以不止一块。2特例分析曾有一道趣题：求正三角形均分面积的最短曲线？方法是：将其绕某个顶点翻转复制几下，最终可得一个大的正六边形，以其中心为圆心作一个

3、圆，使其面积正好为正六边形面积的一半。则该圆落在原正三角形内的圆弧即为所求。这是利用了：面积一定，周长最短为圆的原理。而涉及到长度最短问题，大家肯定更熟悉这个定理：“两点之间线段最短”。所以我们可初步选定：通过线段、圆弧搭配来解决这个问题。对于单位正方形，二等分很容易；三等分、四等分容易构造出来吗？哪个更容易？咱们还是先从三等分情形开始吧。。。方案一、如图1，横切一刀，将正方形划面积分成1:2，再对较大块中间竖切一刀，全长为：5�=1.666666⋯；32√15方案二、如图2，将那条水平切线折断成两部分，中间那道竖线段长度为：−，全3602√15长为

4、：+=1.634912⋯34方案三、如图3，再将两条折线演变成两段圆弧，使其在交汇处切线夹角为120°，另2√3?一端与边界垂直（这是半径为1，弧度为30°的圆弧），中间那道竖线段长度为：+−，全3462√3?长为：++=1.623278⋯346图1方案一图2方案二图3方案三方案一是仅用两条直线段分割所能达到的长度总和最小方案；方案二则是仅以直线段分割所能达到的长度总和最小方案；方案三则是允许以任意曲线分割中所能达到的长度总和最小方案。上面是其演化过程。三等分解决了，四等分还不简单？不就是在二等分基础上再等分吗？一个标准的“田”字不就解决了吗？想当初

5、笔者也曾这么想当然。如果您也这么认为，那就大错特错了，请看图4，居然可以让总长缩短到2.0以下，达到了：1.975592……图4四等分图5五等分再到n=5的情形，如图5，中间的“四边形”其实是四段30°的弧。其划分线全长为：2.502112……欲知如此“怪异”奇妙的曲线是如何构造出来的？请听下回分解。。。3微观分析最佳划分可以通过微观调整逐渐逼近，KeyTo9_Fans总结出了以下几个基本原则：微调原则一、曲线中间没有尖角。如果曲线中间有尖角O，我们可以在O点附近找两个点A、B连起来。如图6所示：图6消除尖点造成的面积差异可通过旋转三角形AOB外的曲

6、线弥补。于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。微调原则二、与直线边界相接的地方垂直边界。如果不垂直边界，我们可以在边界附近找一个点A，作A与边界的垂线。如图7所示：图7垂直边界造成的面积差异可通过旋转三角形APP'外的曲线弥补。于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。微调原则三、内部曲线的交角为120度。理论依据是：设△ABC，最大的角小于120度。在三角形内部找一个点P，使得

7、PA

8、+

9、PB

10、+

11、PC

12、最小，那么∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。如图8所示，如果3条曲线的交角不是120度，我们总可以调整成120度。图

13、8调整夹角成120°造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。微调原则四、界线只能是直线段或圆弧。其证明，hujunhua甚至借鉴了结晶学理论（见原帖23#）。4结论总结最短田埂问题，需满足如下原则：i.分界线为圆弧；ii.分界线同边界垂直；iii.内部分界互成120度；iv.内部分界处有向曲率和为零。解读：1、关于第i点，线段可以看成圆弧的退化情况；2、关于第ii点，接触的边界需是光滑的（比如，两等圆相交构成区域进行二等分，最佳方案即是公共弦，而公共弦是不存在“垂直边界”之说的，因为其端点正好是

14、边界上的拐点）；3、关于第iii点，在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等；4、关于第iv点