圆圆圆面面观

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1、霪懑茹_÷警每譬叠茹万方数据卜■—■■簟簟■■_■萱酱t举熬王思俭圆及其方程是解析几何的基础，又与其他学科知识密切相关，若能对圆及其方程有足够的理解和认识，那么对于我们深入理解解析几何的基本思想、顺利求解与圆有关的问题是十分有益的．本文从圆的定义，圆与方程、几何、三角的联系四个方面，帮助同学们理解圆及其方程．★一、回归定义圆的标准方程(z一口)2+(y一6)2=，．2，其几何意义是动点(z，∥)到圆心(口，6)的距离的平方等于圆的半径的平方，其本质就是圆的定义问题．■例1设圆满足：①截Y轴所得弦长为2；②被z轴分成两段

2、圆弧，其弧长之比为3：1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线Z：z一2y一0的距离最小的圆的方程．解析设圆心P(盘，6)，半径为r，则点P到z轴，Y轴的距离分别为Ib1，In1．由题意，知圆P截z轴所得劣弧对的圆心角为90。，故圆P截z轴所得弦长为√2，．，由(辱，．)。+lbfz一^得rz一262．因为圆P截Y轴所得弦长为2，所以有r2一日2+1，从而2b2一乜2=1．又点P到直线l：z～2y一0的距离为d：止【二兰俎，所以5d!一la一2bIz一口z+46z■_。’—■、一一4ab≥口2+4b2—2(口2+b2

3、)一2b2一口2—1，当且仅当口一b时上式等号成立．此时5d2—1，从而d⋯一竿．由o_-b,嘉+1’故所求圆的方程为(x--1)2+(y--1)2—2或(z+1)2+(Y+1)2—2．★二、回归方程当我们探讨圆与直线、圆与圆的位置关系问题时，将圆的方程z2+y2+Dx+Ey+F--_o与直线方程(二元一次方程)或其他圆的方程(二元二次方程)联立，均可得到一元二次方程，借此可判断圆与直线或圆相交、相切、相离等情形．因此，回归方程，将几何与代数密切结合，正体现了解析几何的基本思想——数形结合．特例：圆与z轴或y轴相交，在

4、工2+y2+Dx+Ey+F=0中分别令Y一0，z一0，可得一元二次方程；与平行于坐标轴的直线相交，在z2+y2+Dx+Ey+F=0中分别取y，z为常数，也可得到一元二次方程．◆例2在平面直角坐标系zoy中，设二次函数f(z)一z2+2x+b(z∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C，求圆C的方程．解法一由z2+2z+6—0，得z一一1±~／1一b(6<1，且6≠0)，所以厂(T)的图象万方数据与坐标轴的交点是A(一1(～1+，F虿，o)，G(0，b)．设圆C的方程为35"2+y一0，得f(一1一~／而

5、)2+D(一1一~／R)+F—o，{(一1+~／而)2+D(一14-~／r习)+F一0，162+E6+F—o．解得D=2，E一一6—1，F=b．所求圆C的方程为z2+y2+2x一(6+1)y+6—0．舞篱三交点是(一1一~／F可，0)，(一1+／F虿，0)，(o，6)．由对称性可设圆心C(一1，m)，得1+(6一仇)2—1—6+m2，解得m：下b+l，所以C(叱字)t"2一·+(字)2．所求圆C的方程为(z+1)2+(y一半)2一，+(孚)2．纂藩罩求出线段AB，AG的垂直平分线方程，联立得圆心坐标．过程省略．解法四设

6、圆c的方程为z2+y2+Dx+Ey+F一0．令y一0，得z2+Dx+F一0，该方程与方程z2+2x+6—0同解，所以D一2，F—b．令z一0，得y2+Ey+F一0，将y—b代入，得E一一6—1．所求圆C的方程为z2+y2+2x一(b+1)了+6—0．本题给出四种解法，解法一从题目条件圆过三个已知点，选用圆的一般方程是最自然的选择，但是因为有参数b，不少同学望而却步，十分可惜；解法二、三求圆的标准方程，但运算量也非同一般，许多同学因繁琐而放弃运算；解法四虽然也是选用圆的一般方程，但从一元二次方程的观点出发求解，较为简洁且

7、又不失一般性．的方程，自然也常回到平面几何老家看看．例如，平面几何中有这样一个重要结论：圆周上任意一点与直径两端点连线构成直角三角形，于是有两条连线的斜率之积为一1，或两条连成的线段视为向量时其数量积为0，设圆的直径两端点A(x。，y。)，B(x。，y。)，P是圆上的点P(x，y)，则有(z—z1)(z—z2)+(y—j，。)(j，一j，：)=O，这就是圆的直径式方程，从而得出用几何的观点理解圆的方程．◆例3已知直线z1：nz—y+2盘=o，z2：z+口y+盘一2=0，其中口为常数．当口变化时，求两直线的交点P的轨迹方

8、程．鬻暂常规思路是先求解方程组，得到点P的坐标，再消去口，得出点P的轨迹方程，但运算量很大．如果我们仔细观察两直线方程的结构特征，不难发现两个特点：一是两直线互相垂直，二是两条直线分别过定点A(一2，0)，B(2，一1)，所以就有PA上PB，于是就判断点P在以AB为直径的圆上，即得出点P的轨迹为圆，其方程为(z+2)(z一2)+y