2.2.2对数函数及其性质(2)

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1、2.2.2对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分

2、和两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾对数函数的定义、图象、性质.师：上一节，大家学习了对数函数y=logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有

3、关问题.为学习新课作好了知识上的准备.应用举例例1比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）loga5.1，loga5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）例1解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log23.4＜log23.8.（2）对

4、数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log0.51.8＞log0.52.1.（3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77=1=log66＜log67.所以log75＜log67.小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对

5、数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.掌握对数函数知识的应用.例2判断函数f（x）=ln（－x）的奇偶性.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.例2解：∵＞x恒成立，故（

6、x）的定义域为（－∞，+∞），又∵f（－x）=ln（+x）=－ln=－ln=－ln（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系.f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕，f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0例3（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数；（2）问

7、：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？例4已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1.（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；=1〔f（x）≠0〕.在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），∵0＜x1＜x2，∴

8、x12+1＜x22+1.又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），即f（x1）＜f（x2）.∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.例4分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.（