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1、在地图上量算面积的精确算法白生明张洪波(华北油田设计院河北省任丘市062552)摘要由于计算机技术的快速发展,x=f1(,)(1)特别是CAD技术和设备的发展,为在地y=f2(,)图上精确量取地理信息的定量数据提供了则其反函数式可写作方便。可用不同的基本原理、公式来精确-1=f1(x,y)(2)量取地图上的面积。本文介绍一种运用地=f-12(x,y)图投影变换的原理、椭球面上求积的原理当式(1)确定时,式(2)也随之确定。其中x,y以及测量中的加权平差方法,在地图上量为图上坐标,,为大地纬度、经度,f1,f2为单值、
2、取面积的精确算法。连续函数。主题词大地测量地理图坐标如对墨卡托投影,则正算式为计算机技术面积计算x=r0/c0(q-qs)(3)y=r0/c0(-w)-1-1q=thsin-eth(esin)(4)1精确量算地图的面积acosr=221-esinq=(xc0/r0)+qs(5)任何地图都不可避免地存在因地图投影而产生的变形。除等积投影外,在图上量算出的图面面积=(yc0/r0)+w-1与主比例尺分母平方的乘积并不等于相应的椭球体=sinthq(6)2表面上的面积,而椭球体面上规则区域的面积
3、是可=+0192288sin+0000376sin4+积的,如某种梯形。基于这种情况,在地图上量算面积,可通过如下方法实现。式(3)~(6)中,q称等量纬度,r0为基准纬圈半径,(1)运用地图投影变换的理论,把通过数字化a为椭球体长半轴,e为椭球体第一偏心率。一般地图投影的解算中,对已知投影的反算式仪采集的图上所求区域的边界曲线各点的平面直角坐标x,y反算为大地坐标,。多有介绍。但对于未知投影的地图,或虽知投影,但(2)按照格林公式的原理,把边界线上相邻两式(2)不易求得的投影,只要图上有精确的纬线网,可通过数值变换的方法,将其
4、上各点反算出来。如点不等高的椭球面梯形用等高的椭球面微分梯形来变换多项式代替,其面积的正负,由边界线的走向而定,最后-1取其和则得所求区域的面积。x=f1(,)22(3)应用测量中的平差方法,当所量各子区域=a0+a1+a2+a3+a4+a5223满布一个由经纬线所构成的大区域时,则对面积量+a6+a7+a8+a9(7)-1算误差进行以子区域面积为权的加权平差。这样即y=f2(,)22可使总区域大小不变,又可使子区域量算精度提高=b0+b1+b2+b3+b4+b53223一个数量级。+b6+b7+b8
5、+b9可先在图上均匀采集10个经纬线交点(,)及相2几个基本原理的应用过程应的(x,y)值,组成线性方程组,用主元消去法或最小二乘逼近来求解各系数ai、bi。21地图投影反解变换待求面积的图上边界曲线各点,用手工方法量已知地图投影函数的一般公式是取其图上坐标,并反解经纬度,工作量是相当大的,72油气田地面工程(OGSE)第19卷第1期(2000.1)采用以计算机控制的数字化仪时,由于数字化仪坐达222标系与地图平面直角坐标系的不一致,加之纸张的T=b/2(i+1-i)#sin/(1-esin)-1变形,必须通过一种称之为仿射变
6、换的方法,对所取+(1/e)th(esin)∃c(14)min点进行旋转、平移和伸缩的变换处理,才能得到图上min=Mmin{i%∀}(15)正确的坐标。22椭球面上梯形面积的计算椭球面上的梯形面积指由两条纬线和两条经线所围成区域的面积,可用积分方法导出,推导过程如下。巳知沿纬线微分线段dsn=rd,沿经线微分线段dsm=Md,则椭球面上微分梯形面积可得2bcosdT=Mrdd=222dd(8)(1-esin)对上式取定积分有222bcosT=!1!1222dd(9)(1-esin)积分后得2bsinT=(
7、2-1)22图1封闭曲线所围曲面面积21-esin21-1+th(esin)(10)按规定的曲线走向,显然当区域位于边界线下e1式中b为椭球体短半轴。方时,i+1>i,T>0;位于边界上方时,i=1<i,T23椭球面上闭曲线所围区域的面积计算<0;当i=1=i时T=0。积分学中有著名的格林公式设点集∀中有N个点,曲线F的起点即为终!Q!p点,则所围区域D的面积S可用和式来表达∀cpdx+Qdy=!!D-dXdY(11)!X!YnS=#Ti(16)当令p=-Y,Q=X时,则区域D的面积可表i=1为其精度取决于取点精度和点的
8、密度,由以上算法可看出,不论区域的形状如何,曲线的走向多么复S=!
