从水电工程图中精确量算面积的方法(何永明 朱贤博)

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1、从水电工程图中精确量算面积的方法(何永明朱贤博)从水电工程图中精确量算面积的方法(何永明朱贤博)从水电工程图中精确量算面积的方法(何永明朱贤博)从水电工程图中精确量算面积的方法(何永明朱贤博)  摘要:在水利水电工程建设中,经常需要准确地量算图纸中的面积,应用于施工招投标及工程完工时工程量结算。电脑技术的发展,为在地图上精确量取地理信息的定量数据提供了方便。可用不同的基本原理、公式来精确量取地图上的面积。介绍一种运用地图投影变换的原理、三次样条函数法以及测量中的加权平差方法,在地图上量取面积的精确算法。关键词:三次样条函数法;加权平差方法;投影交换;工程图纸中图分类号:TU20文献标识码

2、:A1精确量算地图的面积在水利水电工程施工中,经常需要在地图上量取各种地理信息,如面积、坐标等,但任何地图都不可避免地存在因地图投影而产生的变形。除等积投影外,在图上量算出的图面面积与主比例尺分母平方的乘积并不等于相应的椭球体表面上的面积,而椭球体表面上规则区域的面积是可积的,如某种梯形。基于这种情况,在地图上量算面积,可通过如下方法实现。运用地图投影变换的理论,把通过数字化仪采集的图上所求区域的边界曲线各点的平面直角坐标x,y反算为大地坐标φ,λ。运用三次样条函数法,可以根据实地边界曲线的变化来选取支距点,采用符合边界曲线更的数学模型,应用于内外业面积量算中,能提高面积的计算精度。应用

3、测量中的平差方法,当所量各子区域满布一个由经纬线所构成的大区域时,则对面积量算误差进行以子区域面积为权的加权平差。这样即可使总区域大小不变,又可使子区域量算精度提高一个数量级。2几个基本原理的应用过程2.1地图投影反解变换已知地图投影函数的一般公式是:x=f1y=f2则其反函数式可写作:φ=f1-1λ=f2-1当式确定时,式也随之确定。其中x,y为图上坐标;φ,λ为大地纬度、经度;f1、f2为单值、连续函数。如对默卡托投影,则正算式为:x=r0/c0y=r0/c0q=th-1sinφ-eth-1r=acosφ/q=+q1λ=+λ1ψ=sin-1thqφ=ψ+0.192288sin2ψ+0

4、.000376sin4ψ+…式~中,q为等量纬度;r0为基准纬圈半径;a为椭球体长半轴;e为椭球体第一偏心率。一般地图投影的解算中,对已知投影的反算式多有介绍。但对于未知投影的地图,或虽知投影,但由式不易求得的投影,只要图上有精确的纬线网,可通过数值变换的方法,将其上各点反算出来。如变换多项式:x=f1-1=a0+a1φ+a2λ+a3φ2+a4φλ+a5λ2+a6φ2λ+a7φλ2+a8φ+a9λ3y=f2-1=b0+b1φ+b2λ+b3φ2+b4φλ+b5λ2+b6φ3+b7φ2λ+b8φλ2+b9λ3可先在图上均匀采集10个经纬线交点及相应的值,组成线性方程组,用主元消去法或最小二乘

5、逼近来求解各系数ai,bi。待求面积的图上边界曲线各点,用手工方法量取其图上坐标,并反解经纬度,工作量是非常大的,采用以计算机控制的数字化仪时,由于数字化仪坐标系与地图平面直角坐标系的不一致,加之纸张的变形,必须通过一种称之为仿射变换的方法,对所取点进行旋转、平移和伸缩的变换处理,才能得到图上正确的坐标。2.2三次样条函数法求面积用三次样条函数对不规则曲线进行拟合,可使模拟曲线光滑至有连续二阶导数,即任意两相邻多项式的峰值点得到了圆滑处理,因而其数学模型能更好地与地面曲线相符。对每一曲线段采用三次多项式Pi使之在区间[Xi,Xi+1]内,而每一个三次多项式Pi在其两端点Xi及Xi+1处必

6、须和已知函数在该点的值相等,则:Pi=++ci/6hi3+ci+1/6hi3根据积分原理可得其面积为Ai=∫Pidx=∫[++ci/6hi3+ci+1/6hi3]dx=0.52+0.52+ci/24hi4+ci+1/24hi4将hi=Xi+1-Xi代入并整理得:Ai=[/2-h2i/12]ki+k3i/24式即为曲线与X轴在区间[Xi,Xi+1]上所围面积的计算公式。显然,曲线与X轴在区间[X1,Xn]上所围面积的计算公式为:A=∫Pidx=∫P1dx+∫P2dx+…+∫Pn-1dx=A1+A2+…+An-1=∑Ai以上即为应用三次样条函数法计算不规则图形的面积计算公式。下面给出应用三次

7、样条函数法在计算机上计算不规则图形面积的处理步骤:输入支距点数n,数组说明,输入支距点坐标Xi,Fi,计算Hi=Xi+1-Xi;按hi-1ci-1+2+hici+1=6[/hi-hi-1]且c1=cn=0,组成求算三次样条多项式系数ci的线性方程组,用矩阵形式表示为M×C=W;解算线性方程组求三次样条多项式系数C=M-1W;按式和式计算图形的面积A=∑{[0.5-h2i/12]hi+h3i/24}。2.3椭球面上梯形面积的计算椭球面

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