斯托克斯公式证明环路定理

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1、斯托克斯公式证明环路定理作者：苏沛指导教师：高建【摘要】引入环流量、旋度等概念，再运用斯托克斯公式证明恒稳磁场环路定理，证明方法易懂。【关键词】环流量、旋度、环路定理、斯托克斯公式。1.环流量与旋度给定一向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为，则曲线积分称为向量场A沿有向闭曲线L的环流量。设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则，由斯托克斯公式有，称为向量场A的旋度，记为rotA，于是利用旋度可将斯托克斯公式写成如下形式：它表示向量场A

2、沿有向曲线L的环流量等于其旋度rotA通过以L为边界所张的曲面S的通量。旋度是一个向量，它是由向量场A产生的向量场，称为旋度场。如果A表示稳定流动的不可压缩流体的流速场，那么环流量表示单位时间内沿闭曲线L的流体总量，反映了流体沿L时的旋转强弱程度。当rotA0时，即沿任意闭曲线的环流量为零，此时流体流动时不形成漩涡，称A为无旋场。i.设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为2.稳恒磁场环路定理证明计算载流圆柱体周围磁场空间磁场强度H矢量的旋度，设载流圆柱体的半径为R，电流强度为I，且均匀分布在截面上。由环路定理得其周围空间各点处大小为：和，旋度

3、的柱坐标形式I的流向沿Z轴方向，沿r为径向，为切线方向，已知则导体外部H的旋度为：同理可得上述结果表明，只有载流导体内部各点处H的旋度不为零，其大小等于一个常量所以由可得：这一结论可推广到L中包含多个电流的情况，即为此式即为稳恒磁场的环路定理。参考文献[1]谢云荪,傅英定,微积分下册,高等教育出版社,2009年6月。[2]孙云卿,雷雨,大学物理学,科学出版社。