第2章《圆锥曲线与方程-2.1 圆锥曲线》导学案

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.1》导学案教学过程一、问题情境2011年9月29日，中国成功发射了“天宫一号”飞行器，你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗？二、数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹，物体运动的轨迹有很多，常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时，截得的图形也在发生变化.请观察图1.(图1)对于第一种情形，可在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，且与圆锥面相切，两球与圆锥

2、面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).(图2)设M是平面与圆锥面的截线上任一点，过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，则MP和MF1，MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ，而VP，VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长)，所以PQ是一个常数.也就是说，截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数.通过分析，给出椭圆的概念:一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F

3、2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1　为什么常数要大于F1F2？解　因为动点与F1，F2构成三角形，三角形的两边之和大于第三边，所以MF1+MF2>F1F2.问题2　若MF1+MF2=F1F2，动点M的轨迹是什么？解　线段F1F2.问题3　若MF1+MF2

4、明:(1)常数要小于F1F2.(2)若

5、MF1-MF2

6、=F1F2，动点M的轨迹是以F1，F2为端点向外侧的两条射线.(3)若

7、MF1-MF2

8、>F1F2，动点M的轨迹不存在.抛物线的概念:一般地，平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上，否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、数学运用【例1】　已知定点P(0，3)和定直线l:y+3=0，动圆M过点P且与直线l相切，求证:圆心M

9、的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15)[处理建议]　让学生仔细审题，作出图形，再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系，使问题得以解决.[规范板书]　证明　设圆M的半径为r，点M到直线l的距离为d.∵动圆M过点P且与l相切，∴MP=r，d=r，∴MP=d.而点P不在l上，∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.　(例2)[题后反思]　本题要紧扣抛物线的定义，主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离；②定点不在定直线上.【例2】　(教材第27页习题2.1第3题)如图，圆F1在圆F2的内部，且点F1，F2不重合，求证:与圆F1外切且与

10、圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16)[处理建议]　让学生仔细审题，明确需要解决什么问题，再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系，使问题得以解决.[规范板书]　证明　设圆F1，F2的半径分别为r1，r2，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2-t，消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.[题后反思]　要证明某点的运动轨迹，可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭

11、圆这一定义.变式1　如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问:动点C的轨迹是什么曲线？(变式1)[处理建议]　从例2的解法中联想思考，寻找动点满足的几何性质是什么.[规范板书]　解　双曲线的一支.证明如下:设圆F1，F2的半径分别为r1，r2(r1>r2)，动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t，CF2=r2+t，消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数)，所以动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支.[题后反思]　应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:

12、当两圆相离时，动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切，其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.变式2　(1)动圆与圆C1:x2+y2=1和C2:(x-4)2+y2=4都外切，则动圆圆