《等比数列》教案1

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1、《等比数列》教案教学目标知识与技能熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．过程与方法进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．情感态度与价值观感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．教学重、难点重点：等比数列的运用难点：类比推理的方法运用教学方法引导法课时1课时教学过程一、问题情景：在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：1.在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，…2.一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电

2、子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1，20，202，203，…3.除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×（1＋利率）存期例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：表47-1时　间年初本金（元）年末

3、本利和（元）第1年1000010000×1.0198第2年10000×1.019810000×1.01982第3年10000×1.0198210000×1.01983第4年10000×1.0198310000×1.01984第5年10000×1.0198410000×1.01985各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般

4、的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即［问题］1.ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？2.运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为

5、ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．3.你如何论证上述公式的正确性．证法1：同等差数列———归纳法．证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．解释应用［例题］1.某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84

6、，ｑ＝0.84．设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用计算器计算，得ｎ≈4．答：这种物质的半衰期大约为4年．2.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．3.已知数列｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａnbn｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·bn｝也是等比数列．证明如下：设

7、数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛bn｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·bn｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·bn｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．［练习］1.在等比数列｛ａn｝中，（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．2.设｛ａn｝是正项等比数列，