《1.3.2函数的极值与导数》导学案4

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1、《1.3.2函数的极值与导数》导学案4【课标要求】1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值(重难点)．2．有关极值的正向或逆向问题的考查(难点).自学导引1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大

2、值与极大值点如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？提示　一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．2．求函数f(x)

3、极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示　极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点．名师点睛1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数

4、的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点.题型一　求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝＋3lnx；　(2)f(x)＝－2.

5、[思路探索]求出f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．解　(1)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0

6、－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表解题时注意考查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．【变式1】求函数y＝x4－4x3＋5的极值．解　y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)y′－0－0＋y↘不是极值↘极小值－22↗

7、故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.题型二　已知极值求参数值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．[思路探索]先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1建立关于a，b，c的方程组．求出a，b，c值，再由判定极值的方法判定其极值情况．解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴