《1.3.2函数的极值与导数》导学案3

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1、《1.3.2函数的极值与导数》导学案3问题导学一、求函数的极值活动与探究1求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2．迁移与应用求函数f(x)＝的极大值．利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；②如果由负变正，则f(x0)是极小值；③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、函数极值的逆应用活动与探究2已知函数f(x

2、)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的另一个极值．迁移与应用1．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－42．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．(1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．②因为导数值等于零不是此点为极值点的充

3、要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．(2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．三、有关函数极值的综合问题活动与探究3已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0．(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间．迁移与应用1．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)A．(2,3)B．(3，＋∞)C

4、．(2，＋∞)D．(－∞，3)2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．(1)利用导数可探究出函数的单调性与极值情况，据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象．(2)研究方程根的个数问题时，可利用数形结合的思想方法，将问题转化为两函数图象交点个数的问题，然后借助函数的单调性和极值情况进行求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)0　f′(x)＜0　f′(x)＞0　(2)f′(x)＞0　f′(

5、x)＜0　极大值点　极小值点　极大值　极小值预习交流1　提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．(1)极大值　(2)极小值预习交流2　提示：f′(x

6、)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．解：(1)函数f(x)的定义域为R．f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递

7、减－16单调递增从上表可以看出：当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16；当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16．(2)函数的定义域为R．f′(x)＝＝－．令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减－3单调递增－1单调递减由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－1．迁移与应用　解：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝＝，令f′(x)＝0，得x

8、＝，且当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝．活动与探究2　思路分