《1.4生活中的优化问题举例》同步练习2

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1、《生活中的优化问题举例》同步练习2基础巩固强化1．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________．2．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？3．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25000＋200x＋x2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补其经济损失并获得一定的净收入．在乙

2、方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系式x＝2000.若乙方每生产1吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出使乙方获得最大年利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？5．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：

3、p＝(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？6.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．答案基础巩固强化1．[答案]　3m3[解析]　设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x　(0

4、，∵00)．所以y′＝8mπr－，令y′＝0，得r＝，此时，h＝＝4.当r∈时，y′<0，当r∈时，y′>0，因此r＝是函数y＝4mπr2＋(r>0)的极小值点，也是最小值点．故当r＝时，y有最小值，即hr＝41时，总造价最小．答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最

5、小．3．[解析]　(1)设平均成本为y元，则y＝＝＋200＋(x>0)，y′＝′＝－＋.令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．当在x＝1000附近左侧时，y′<0；在x＝1000附近右侧时，y′>0；故当x＝1000时，y取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数为L＝500x－(25000＋200x＋)＝300x－25000－.∴L′＝300－.令L′＝0，得x＝6000，当x在6000附近左侧时，L′>0；当x在6000附近右侧时，L′<0，故当x＝6000时，L取

6、得极大值．由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．4．[解析]　(1)因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w＝2000－st.w′＝－s＝.令w′＝0，得t＝t0＝2.当t0；当t>t0时，w′<0，所以t＝t0时，w取得最大值．因此乙方获得最大年利润的年产量是2吨．(2)设甲方净收入为v元，则v＝st－0.002t2.将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v＝－×109.又v′＝，令v′＝0，得s＝20.当s<20时，v′>0；当s>

7、20时，v′<0，所以s＝20时，v取得最大值．因此当甲方向乙方要求的赔付价格s＝20(元/吨)时，获最大净收入．5．[解析]　(1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝，当每天生产x件时，有x·件次品，有x件正品．所以T＝200x－100x·＝25·(x∈N＋)．(2)T′＝－25·，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0