《3.1.3 导数的概念和几何意义》教案

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1、《导数的概念和几何意义》教案教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿

2、着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.（2）曲线在某点处的

3、切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那

4、么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。三．典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3

5、x2在点处的导数.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函

6、数在附近单调递减．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以

7、得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7[来源:学科网ZXXK]-1.4四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；2．求曲线在点处的切线．五．回顾总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义六．布置作业