§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程

《§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4－3极坐标中的应力函数与相容方程Ø极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从头导出，但是也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换关系，将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。Ø变换1——坐标变量的变换：反之：Ø变换2——函数的变换：只需将上述坐标变换式（a）或（b）代入函数即可。Ø变换3——位移的变换：如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变换式如下：反之：Ø变换4——导数的变换：由坐标变量的变换，可得导数的变换式由得ρ，φ对x，y的导数。5Ø变换5——应力函数的一阶导数的变换：由复合函数的求导法则将函数Φx,y看成是而ρ

2、，φ又是x，y的函数。因此，Φ可以认为是通过中间变量ρ，φ的关于x，y的复合函数。即按照复合函数的求导公式，可得一阶导数的变换公式Ø变换6——应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出，因为：（a）5（b）（c）5Ø应力分量表达式由左图可知，当x轴和y轴分别转到ρ轴和φ轴时，有φ=0，由直角坐标中应力分量的表达式（2-24）（2-24）当不计体力时，极坐标中应力分量可由应力函数表达如下：（4-5）Ø将(a)和（b）式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下：Ø根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，可得极坐标中的相容方程为5（4-

3、6）综上所述，当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题时，归结为求解一个应力函数，它必须满足：　（1）在区域内满足极坐标中的相容方程（4-6）；　（2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；　（3）如为多连体，还须满足单值连续条件；Ø求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆解法和半逆解法；Ø求得上述条件的应力函数后，由（4-5）式可求应力分量；进而由物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量5