弹性力学12-极坐标中的应力函数与相容方程

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1、第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程根据直角坐标下的公式，得到极坐标（r，j）下的：应力分量的表达式应力函数表示的相容方程第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从头导出；也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换关系，将直角坐标中应力函数f关于坐标（x，y）的二阶导数用极坐标（r，j）表示，然后直接带入到直角坐标下的相关公式中。（1）坐标变量的变换及极坐标对直角坐标的导数：xrcosj,yrsinj反之：222yrxy,j

2、arctanx第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程导数的变换：由坐标变量的变换，可得极坐标对直角坐标的导数式：222yrxy,jarctanxr2xxr2yycosj,sinjx2x2y2ry2x2y2ry1jx2ysinjjxxcosj,y2y2x2rry2rr1()1()xx第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程（2）应力函数的导数的变换应力函数的一阶导数的变换可由复合函数的求导法则,是（r，j）的函数；r，j又

3、是关于x，y的函数：rjsinjcosjxrxjxrrjrjcosjsinjyryjyrrj应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出：2sinjsinj()(cosj)(cosj)2xxxrrjrrj同理，即可得出教材中的(a)-（c）式第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程（3）应力分量表达式由左图可知，对于微分体，当x轴和y轴分别转到r轴和j轴时，有j0

4、，由直角坐标中应力分量的表达式，当不计体力时，极坐标中应力分量可由应力函数表达如下：2211()()rxj0y2rrr2j2由体力分量为零，j022带入平衡微分方程()()jyj0x2r2式（4-1）可知能够j021满足。()()()rjxyj0xyrrjj0第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程（4）应力函数表示的相容方程将(a)和（b）式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下：222222

5、112222222xyxyrrrrf根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，可得极坐标中的相容方程为22222221102222222xyxyrrrrf第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程（5）位移的变换如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变换式如下：uucosjusinjrjvusinjucosjrj反之：uucosjvsinjru

6、usinjvcosjj第四章平面问题的极坐标解答4.3极坐标中的应力函数与相容方程当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题时，归结为求解一个应力函数（r，j），它必须满足：（1）在区域内满足极座标中的相容方程；（2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；（3）如为多连体，还须满足单值连续条件。求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆解法和半逆解法；求得上述条件的应力函数后，即可求应力分量；进而由物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量第四章平面问题的极坐标解答4.4应力分量的坐标变换已知的直

7、角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者已知的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中应力分量的关系式，即应力分量的的坐标变换式。由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体x面、y面及r面、j面，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。第四章平面问题的极坐标解答4.4应力分量的坐标变换如图，当取厚度为1，包含x面、y面和径向坐标面的微小三角板A时，由微分体沿径向r和环向f两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：22Fr0

8、rxcosjysinjxysin2jFj0rj(yx)cosjsinjxycos2j同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微小三角板B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：22sinjcosjsin2jFr0jxyx