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时间:2019-06-04
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1、§4-3极坐标中的应力函数与相容方程Ø极坐标系中的一切公式,可以如同直角坐标系中一样从头导出,但是也可以简化公式的推导,直接通过坐标变换关系,将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。Ø变换1——坐标变量的变换:反之:Ø变换2——函数的变换:只需将上述坐标变换式(a)或(b)代入函数即可。Ø变换3——位移的变换:如图,通过投影的方法,可得位移的坐标变换式如下:反之:Ø变换4——导数的变换:由坐标变量的变换,可得导数的变换式由得ρ,φ对x,y的导数。5Ø变换5——应力函数的一阶导数的变换:由复合函数的求导法则将函数Φx,y看成是而ρ
2、,φ又是x,y的函数。因此,Φ可以认为是通过中间变量ρ,φ的关于x,y的复合函数。即按照复合函数的求导公式,可得一阶导数的变换公式Ø变换6——应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出,因为:(a)5(b)(c)5Ø应力分量表达式由左图可知,当x轴和y轴分别转到ρ轴和φ轴时,有φ=0,由直角坐标中应力分量的表达式(2-24)(2-24)当不计体力时,极坐标中应力分量可由应力函数表达如下:(4-5)Ø将(a)和(b)式相加,得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下:Ø根据上式及直角坐标系下的相容方程,当不计体力时,可得极坐标中的相容方程为5(4-
3、6)综上所述,当不计体力时,在极坐标中按应力求解平面问题时,归结为求解一个应力函数,它必须满足: (1)在区域内满足极坐标中的相容方程(4-6); (2)在边界上满足应力边界条件(假定全部为应力边界条件); (3)如为多连体,还须满足单值连续条件;Ø求解应力函数的方法与直角坐标系下一样,仍可采用逆解法和半逆解法;Ø求得上述条件的应力函数后,由(4-5)式可求应力分量;进而由物理方程求应变分量,由几何方程求位移分量5
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