1.1常微分方程数值解

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1、第5章常微分方程数值解针对若满足Lipschitz条件：则上述初值问题的解存在并且唯一。TheO.D.Ewithaninitialconditonhasanuniquesolution.解存在但并非用解析方法可以求解如欧拉方法:EulerScheme,euler’sMethod对于（1）我们在处离散方程:discreteequation注意到将x的定义域n等分，得到节点Maken-equalpartitionforthedomain,wegetnodes:其中步长在（3）中令则有故有由于故可算出。同理对任一满足，有用表示

2、，即有欧拉格式利用（4）式即可算出所有的的近似值approximatevalue:piecewiselinear例1，求解初值问题解，故欧拉格式为Solution:计算结果见下表表5.10.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321真解:Geometrical几何表示：由

3、于，故欧拉格式可写成图5.2局部截断误差Localtruncationerror故称为局部截断误差，称为1阶精度格式。2.后退的欧拉公式BackwardEulerformula取则故离散格式为亦称为隐式格式。Implicitscheme;显式:explicit当时，需求解方程解出，可用迭代法误差估计局部截断误差：3.梯形格式trapeziascheme注意到显格式与隐格式的误差的符号一正一负，将其平均两格式相加误差精度为2阶，4.改进的欧拉公式modified:预估－校正格式——Predictor-corrector梯形

4、格式精度高，但是隐格式可采用近似的值代替梯形格式中的，得到新的格式可表示或平均化形式5.欧拉两步格式multistepmethods:2stepmethod注意到令则得到离散格式称为二步格式。两步格式具有2阶精度，可以应用到预测——校正算法中问题1，证明梯形格式为2阶精度2，证明两步格式为2阶精度prove2stepschemehas2rdorderaccuracy.