2-3数学归纳法

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1、2-3數學歸納法主題一：數學歸納法 1.數學歸納法的形式設表示「和自然數有關的命題」，如果(1)當時，成立。(是某一固定的自然數)•••••奠基步驟(2)當()時，成立，則時，也成立。••••歸納遞推步驟。則對於一切自然數，都成立。【註】數學歸納法的(1)(2)兩步驟缺一不可，否則會導出荒謬的結果! 2.常見的公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)<範例1>試證：對於所有的正整數n恆有<範例2>設n為正整數，則恆為一個二位自然數p的倍數。(1)試求此自然數p之值。(2)試用數學歸納法證明(1)中，你的答案是正確的。Ans：(1)16(2)略 <範例3>，試證： <範例4>設，，求

2、證。  <範例5>設，(1)試推測之結果。(2)試用數學歸納法證明(1)中的答案是正確的。Ans：(1) <範例6>試證：對於所有自然數n都成立。  主題二：遞迴關係 1.遞迴定義一個數列，如果(1)給定前幾項(如、)的值。(稱為初始條件)(2)一般項可用相鄰數項,,•••表示。(稱為遞迴關係)這種定義叫做遞迴關係，這種數列叫做遞迴數列，這種數列表示法叫做遞迴表示法。2.常見的遞迴數列(1)等差數列：等差數列首項為，公差為遞迴數列的，，(2)等比數列：•等比數列首項為，公比為遞迴數列的，，(3)遞迴數列滿足：可用累加法求的一般式。(4)遞迴數列滿足：可用累乘法求的一般式。 <範例7

3、>(1)若數列滿足，，則？(2)若數列滿足，，則？Ans：(1)(2) <範例8>試求下列各數列的一般項，試以n表示之(1)，(2)，Ans：(1)(2) <範例9>設數列中，()(1)請推測之值。(以n表示)(2)利用數學歸納法證明你的推測成立。Ans：(1)(2)略 <範例10>數列的遞迴定義是：，，試求數列的一般項，並用數學歸納法證明之。Ans： <範例11>設數列滿足：，()，令(1)試證是以為公比的等比數列。(2)求出(用n表示)及。Ans：(1)略(2),15