高一(上) 数学讲义 (翰林版) 2-3 数学归纳法

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1、高一(上)數學講義(翰林版)2－3數學歸納法一、命題概念：1.凡能辨別真假的語句，稱為敘述，通常以英文字母表示。一敘述p的否定敘述以～p(非p)表示。不能辨別真假的語句，稱為開放語句。2.兩個敘述p、q連結成"若p則q"之形式，稱為命題，其中p稱為此命題的假設(或前提、條件)，q稱為此命題的結論。例1：若n是正整數，則1+2+…+n＝n(n+1)。例2：若x是實數且2x+1＝5，則x＝-2。上述二例都是命題。第一個命題是對的，但第二個命題明顯是錯誤的。3.(1)若一命題"若p則q"成立，則簡記為pq，唸成p蘊含q，

2、並稱p為q的充分條件，q為p的必要條件。(2)若兩命題pq與qp同時成立，則簡記為pq，且p、q互為充要條件。4.(1)若一命題為pq，則其否命題為～p～q；逆命題為qp否逆命題為～q～p。～p～q與qp也互為逆命題。(2)互為否逆命題的兩命題必同為真(成立)或同偽(不成立)。二、數學歸納法原理1.河內塔謎題：中間穿孔且半徑漸增的一組大大小小扁平鐵餅，以及三根固定且垂直於地面上的木桿。鐵餅由大而小套在其中一根桿子上。現在要把這些鐵餅由原來的木桿移動到另外一根桿子上，一次只能移動一個鐵餅到另一桿子上，且大的不能疊放在

3、小的上面，設總共有n個鐵餅，最少的移動次數an是多少﹖觀察：(1)當n＝1時，只需將該鐵餅直接移動到指定桿子上，故最少的移動次數a1＝1。(2)當n＝2時，把較小的一個鐵餅移動到其中一根桿子，最少的移動次數為a1，再將較大的移動到另一桿子上，需移動1次，最後將較小的疊到較大的上面，又需移動a1次，故2個鐵餅最少的移動次數為a2＝2a1+1＝3次。(3)當n＝3時，先把上面兩個較小的移動到其中一桿子上，需移動a2次；再把最大的移到另外一桿子上，又把兩個較小的套在最大的上面，也需移動a2次，故3個鐵餅最少的移動次數為a

4、3＝2a2+1＝7次。(4)當n＝4時，先移動上面三個到其中一桿子上，需移動a3次；再把第四個套到另一桿子上，再把移動出來的3個套在第四個上面，也需移動a3次，故4個鐵餅最少的移動次數為a4＝2a3+1＝15次。歸納：設移動n個鐵餅至少需要移動an次，則移動n+1個鐵餅時，把上面n個移動到另一桿子上，至少需要移動an次，再把最底下的鐵餅移到第三桿子上，最後又移動an次把外移的n個疊在最大一個的上面，故移動n＋1個時至少要移動2an+1次。結論：河內塔謎題所引發的數列{an}，首項a1＝1，而對n≧1，an+1＝2a

5、n+1推測：a1＝1＝2-1a2＝2a1+1＝3＝22-1a3＝2a2+1＝7＝23-1，a4＝2a3+1＝15＝24-1，……由此測一般項an＝2n-1上述推測所面對的並不是單一問題，而是一系列的問題：P(1)：a1＝2-1P(2)：a2＝22-1P(3)：a3＝23-1P(4)：a4＝24-1……P(k)：ak＝2k-1P(k+1)：ak+1＝2k+1-1……P(n)：an＝2n-1，……當然，我們不可能一一加以證明，倒是可以做到下列兩點：(1)驗證P(1)成立，即a1＝21-1﹐這由a1＝1馬上得出。(2)設

6、P(k)成立，則可推論P(k+1)也成立。在P(k)成立時，ak＝2k-1Þak＋1＝2ak+1＝2(2k-1)+1＝2k+1-1，故P(k+1)成立。當P(1)驗證成立後，則推證P(2)成立；由P(2)成立又可推證P(3)成立；…，如此造成骨牌效應，前面一個成立可循環推證下一個成立，這就是數學歸納法原理。2.數學歸納法原理之一對一系列的命題P(n)，若(1)P(1)成立(驗證起始值成立)(2)P(k)成立，則P(k+1)跟著成立(循環推論成立)則對任意正整數n，P(n)恆成立。例1：推測級數13＋23＋…＋n3的

7、求和公式﹐並用數學歸納法加以證明。解：首先觀察到n＝1﹐13＝1＝12﹐n＝2﹐13＋23＝9＝32﹐n＝3﹐13＋23＋33＝36＝62﹐n＝4﹐13＋23＋33＋43＝100＝102﹐到n＝4﹐得到的和都是完全平方數﹐而和的開平方為1﹐3﹐6﹐10﹐…﹐又1＝13＝1＋2﹐6＝1＋2＋3﹐10＝1＋2＋3＋4﹐推測n＝k時，和的開平方為1＋2＋3＋…＋k即13＋23＋…＋n3＝〔n（n＋1）〕2。為證明此公式成立，需證明下列一系列命題都成立13＝〔×1×(1＋1）〕213＋23＝〔×2(2＋1)〕2……13＋2

8、3＋…＋k3＝〔k（k＋1）〕213＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝〔(k＋1)(k＋1＋1）〕2……現在用數學歸納法加以證明：(1)檢驗n＝1時，公式13＝〔1×(1＋1)〕2是否成立當n＝1時，左式＝13＝1右式＝（．1．2）2＝1等式成立。(2)能否由13＋23＋…＋k3＝〔k(k＋1)〕2成立推論13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝〔(k＋1)(k＋