3.2多元回归模型的参数估计

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1、§3.2多元线性回归模型的估计同一元回归模型的估计一样，多元回归模型参数估计的任务仍有两项：一是求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量（j=1,2,…,k）；二是求得随机误差项的方差估计。模型(3.1.1)或(3.1.2)在满足§3.1所列的基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法、最大或然法或者矩估计法估计参数。一、普通最小二乘估计随机抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值：如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2,…,n(3.2.1)那么，根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方

2、程组的解(3.2.2)其中(3.2.3)于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：(3.2.4)解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值。57（3.2.4）式的矩阵形式如下：即：（3.2.5）由于满秩，故有（3.2.6）将上述过程用矩阵表示如下：根据最小二乘原理，需寻找一组参数估计值，使得残差平方和最小。即参数估计值应该是下列方程组的解。求解过程如下：即得到于是，参数的最小二乘估计值为：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，57可求得于是对于(3.

3、2.4)式的正规方程组将代入得于是（3.2.7）或j=1,2,…,k（3.2.7）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法。由此可得出多元回归分析中的样本回归函数的离差形式：i=1,2,…,n（3.2.8）其矩阵形式为：（3.2.9）其中，，，容易推出，在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为：（3.2.10）（3.2.11）57最后，可以证明，随机误差项m的方差的无偏估计量为①参见本章附录3.1。：（3.2.12）*二、最大或然估计对于多元线性回归模型(3.1.1)，由于～所以～其中的随机抽取的n组

4、样本观测值的联合概率为：(3.2.13)这就是变量的或然函数。对数或然函数为：（3.2.14）对或然函数求极大值，即对对数或然函数求极大值，也就是对求极小值，就可以得到一组参数估计量，即为参数的最大或然估计显然，其结果与参数的普通最小二乘估计是相同的。*三、矩估计（MomentMethod,MM）普通最小二乘估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组并对它进行求解而完成的。正规方程组(3.2.4)或（3.2.5）可以从另外一种思路来导出。对原总体多元线性回归模型57的两边分别左乘，即得到：或对方程

5、的两边求期望，有：（3.2.15）这里用到了解释变量与随机扰动项不相关的基本假设。（3.2.15）式称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。如果随机抽出原总体的一个样本，由该样本估计出的样本回归方程能够近似代表总体回归方程的话，则应成立：（3.2.16）由此得到正规方程组(3.1.5)解此正规方程组即得样本估计参数。这种估计样本回归方程的方法称为矩估计法，可见其参数估计结果与普通最小二乘法（OLS）以及最大似然估计法（ML）一致。值得一提的是，矩方法是工具变量方法(In

6、strumentalVariables,IV)和广义矩估计法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础。在矩方法中关键是利用了基本假设如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件，这就是工具变量法（IV）。如果存在大于k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含大于k+1个方程的矩条件，这就是广义矩估计法（GMM）。四、参数估计量的性质当多元线性回归模型满足基本假设的情况下，其参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有线性性、无偏性和有效

7、性。同时，随着样本容量增加，即当n→∞时，参数估计量具有渐近无偏性和渐近有效性，从而也具有一致性。1、线性性由于其中为一仅与固定的X有关的行向量。可见，参数估计量是被解释变量Y的线性组合。2、无偏性参数估计量的无偏性证明如下：57(3.2.17)这里利用了解释变量与随机误差项不相关的假设，3、有效性首先给出参数估计量的方差-协方差矩阵：(3.2.18)其中利用了和为单位矩阵。根据高斯—马尔可夫定理，(3.2.18)表示的方差在所有无偏估计量的方差中是最小的。所以该参数估计量具有有效性①参见本章附录3

8、.2。。五、样本容量问题模型参数估计是在样本观测值的支持下完成的，计量经济学模型，说到底是从表现已经发生的经济活动的样本数据中寻找经济活动中内含的规律性，所以，它对样本数据具有很强的依赖性。而收集与整理样本数据又是一件困难的工作，于是选择合适的样本容量，既能满足建模的需要，又能减轻收集数据的困难，是一个重要的实际问题。从建模需要来讲，当然是样本容量越大越好，这是显而易见的。这里需要讨论的是满足基本要求的样本容量和最小样本容量。⒈最小样本容量所谓“最小样本容量”57，即