2015高考理科数学总复习题及解析-6不等式、推理与证明6-7 数学归纳法

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1　　　　　　B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．答案：C2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：1＋＋＋…＋－＝

2、＋＋…＋，共增加了2k项．答案：D3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)解析：∵n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N*)．答案：B4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　

3、　)A.B.C.D.解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.答案：C5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：∵n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2等式成立．答案：B6．在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋＜1(n∈N*，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不

4、等式f(k)＜1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)＜1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)＝(　　)A.＋B.＋－C.－D.－解析：∵f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，f(k)＝＋＋…＋，∴f(k＋1)－f(k)＝－＋＋，∴g(k)＝＋－.故选B.答案：B二、填空题7．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19，m3(m∈N*)的分解中最小的

5、数是21，则m＋n的值为________．解析：∵依题意得n2＝＝100，∴n＝10.易知m3＝21m＋×2，整理得(m－5)(m＋4)＝0，又m∈N*，所以m＝5，所以m＋n＝15.答案：158．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析：由(S1－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.猜想：Sn＝.答案：9．(2014年三亚模拟)用数学归纳法证明1＋

6、2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．解析：当n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2三、解答题10．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1

7、)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，xkb1.comf(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．11．是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自

8、然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解析：由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，