2015高考理科数学总复习题及解析-6不等式、推理与证明6-6 直接证明与间接证明

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B新-课-标-第-一-网2．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)A．log2(1＋2x2)>0　　　　B．x2＋y2≥2(x－y－1)C．x2＋3xy>2y2D.<解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故A不正确；x

2、2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正确；令x＝0，y＝1，则x2＋3xy<2y2，故C不正确；令x＝3，y＝2，则>，故D不正确．答案：B3．(2014年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0证明：＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞

3、0⇔(a－c)(a－b)＞0.答案：C4．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中为凹函数的是(　　)A．y＝log2xB．y＝C．y＝x2D．y＝x3解析：可以根据图象直观观察，对于C证明如下：欲证f<，即证2<，即证(x1＋x2)2<2x＋2x，即证(x1－x2)2>0，显然成立．故原不等式得证．答案：C5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数(　　)A．成等比数列而非等差数列

4、B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得由②③得代入①，得＋＝2b，xkb1.com即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．答案：B6．(2014年潍坊质检)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1

5、)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.答案：A二、填空题7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有

6、f(x1)－f(x2)

7、<

8、x1－x2

9、，求证：

10、f(x1)－f(x2)

11、<.那么他的反设应该是________．答案：“∃x1，x2∈[0,1]，使得

12、f(x1)－f(x2)

13、<

14、x1－x2

15、则

16、f(x1)－f(x2)

17、≥”8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；

18、⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.[来源:学.科.网Z.X.X.K]答案：③9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ

19、的取值范围是________．解析：∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，X

20、k

21、B

22、1.c

23、O

24、m∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.答案：(0,16]三、解答题10．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，xkb1这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错

25、误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.11．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明：(分析法)∵m＞0，∴1＋m＞0.