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1、麻省理工GuidoKuersteiner经济系时间序列14.384第五讲笔记ARMA模型的估计与规范表达首先考虑AR（p）模型的估计量。假设x可由下式得到：t这里e是一个鞅的差分序列，即（或白噪声加混合值加动差限制）Ee=0。这里M包tMt-1tt括了{x,st£}的所有可度量方程。这一假设比先前作出的WN假设更为有力。叠加s'z=(xx,...,)，则f的OLS估计量就为tt--1tp假设WLLN成立，则有这里'如果z是严格平稳的，Ezz=G且一个称为各态历经性的附加技术条件成立，则WLLN成ttt立。下面我们将转向渐进分布。
2、首先请注意ze也是一个鞅的差分序列。那么，如果tt1p2+d'2'2suptEztte<¥，且å(zttzeet-®Ezzttt)0，则我们可以运用一个鞅的差分CLTT来表示1:22'22如果另外有Ees=，则Ezzes=G，。因此f的渐进分布就为Mt-1tttt:d21-TN(f-fs)®G(0,)5.1.ML估计极大似然估计量就是对y求'的最大值，这里f(.
3、)y为{xx,...,}的联合分布。如果X=(xx,...,)是一个Gaussian时1TTT1间序列，则似然方程就为'这里G=()yEXX就是X的TT´协方差矩阵。该
4、协方差矩阵是下列参数的非线形方TTTT程。因此，直接对（5.1）求最大值就是一个高度非线形最优化问题。考虑x的条件密度，t该问题可以得到简化。我们可以将联合密度写为条件密度的表达式如果xt是一个高斯序列，则条件密度都是正态的，且有条件均值为xtt=PxMl，xt的条件t-122方差为st=-xttPxMl。在第5讲中，我们可以看到，这些表达式是如何进行递归运算t-1的。因此，假设具有高斯特性，则对于y的每一个参数取值都可以采用递归的方式计算出确切的似然值。特别地，我们还可以避免TT´矩阵G()y的多次转换。T2在特殊情况下，上述
5、情况还可以进一步简化。举例来说，如果我们规定es:N(0,)t且则有2对似然方程求对数得到如果我们忽略最后一项，并分别对f求logf(xx,...,;)y的最大值，可见，ML估计量渐1T进地等于OLS。这一结论是在e具有高斯特性的假设条件下推导出来的。如果高斯特性不t成立，我们仍然可以利用（5.2）作为标准方程。在这个例子中，估计量被称为准极大似然22估计量。可见，在一定条件下，包括Ees=，只要误差项确实是正态的，最后的估计Mt-1t量都有相同的似然分布。在其他情况下，通过修改公式，可以近似地得到新的方法。特别地，我们发现，观
6、察投影系数的限制性表现，可以有效地处理ARMA（1，1）。对于经过多项式ff(LL)=-(1)和qq(LL)=-(1)参数化的ARMA（1，1），我们可以得到似然方程的以下近似公式令e=0，可以得到全部似然值。现在我们有022这里c=(1+2qf+-qf)(1)。分别对f和q求f(xx,...,;)y的最大值，相当于求以下和的最小值1T通常最后一项可以去掉，因为它没有渐进性的影响。对残差e进行递归运算，可以求出对t任意f和q取值的和S(fq,)的值，即因此，我们可以用数值算法估计在不同的fq,下的S(fq,)取值。T3pq更常见
7、的情况是，经过模型f(L)=(1-ffLL--...)和q(L)=(1-qqLL--...)参数1p1q化的ARMA（1，1）的ML估计量可以写作''这里m==max(p,q),X(xx,...,)，且G=EXX。误差项可以近似写为mm1mmm更进一步地，可以运用下式进行近似运算以估计参数值。5.2.ML估计量的渐进分布标准方程S(fq,)最小值的估计量是连续的，且为渐进正态的。更通常的情况是，令TQ(by)=logf(xx,...,;)。如果对于每一个C值，都有TT1则概率方面具有连续性，这里Q()y是一个非随机方程。另外，对
8、于任何d>0和邻域N(yd,)，需要有0在ARMA模型中，有y=(bs,)，这里b=(f,...,fqq,...,)。从中可看出，对于ARMA，11pq当Q()y为高斯似然时，满足（5.4）式的C值就为Tpq+C={bΡ
9、f(z)q(z)¹0,如果z£1,f¹¹0,q0,fq(zz)和没()}有共通零pq注意如果bÎC，则s是可识别的，。总之，这一条件意味着，AR和MA多项式应当没有共通零，应当都有位于单位圆外的根，且分别为非平凡的p阶和q阶。特别地，它意味着两个多项式中的最高阶系数都不为零。下面我们给出的例子中，对q的两个不
10、同参数值，MA模型都具有相同的自协方差方程。你可以检查发现只有一个模型包含在C中。4例5.1MA（1）模型模型MA(1)和看上去是相等的，也就意味着它们包含着相同的自协方差方程。如果满足条件（5.3）和（5.4），且则有概率yyµ®。条件（5.3）和（5.4）可
