自动控制原理线性系统的稳定性分析

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1、0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.3.5高阶系统的时域分析-0.75-5p2p3p1jj1.2-j1.20(a)闭环极点分布图(b)单位阶跃响应曲线c(t)t特点：1)高阶系统时间响应由简单函数组成。2)如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。3)时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。分析方法：1)可由系统主导极点估算高阶系统性能。2)忽略偶极

2、子的影响。设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。3.4稳定性分析j0稳定区域不稳定区域[S平面]判别系统稳定性的基本方法：(1)劳斯—古尔维茨判据(2)根轨迹法(3)奈奎斯特判据(4)李雅普诺夫第二方法线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部.3.4.1线性系统的稳定性概念系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：当劳斯表中第一列的所有数

3、都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。2.劳斯判据判别系统稳定性。例3.4设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据1234500注意两种特殊情况的处理：1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。解：列出劳斯表第一列数据不同

4、号，系统不稳定性。设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412劳斯表特点及第一种特殊情况劳斯表特点4每两行个数相等1右移一位降两阶2行列式第一列不动3次对角线减主对角线5分母总是上一行第一个元素7第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正数ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127-8ε劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分

5、条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:s1,2=±j劳斯

6、表出现零行系统一定不稳定判断系统的稳定性。例3.5设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据例3.6设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：列出劳斯表s4112s3220s2(取代0)2s12-4/s02可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。解：列出劳斯表s616104s5284s4284辅助多项式A(s)的系数s3000A(s)=2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全

7、零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s616104s5284s4284s3816dA(s)/ds的系数s244s18s04