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1、第七章非线性系统的分析1§4相平面法及相平面图它是一种求解二阶微分方程的图解法设有二阶常微分方程其解有两种表达式⑴时间响应过程形式x=F(t)它直接揭示了系统动态过程.⑵相轨迹形式,即状态变量描述形式任一动态过程都可用相应的状态变量来描述.状态变量个数等于微分方程阶数,如二阶系统两个状态变量,实际中可对应于(位移,速度),(压力,压强),(E,E程度变化率).一、相平面的基本概念21.相平面:以x和为横轴和纵轴构成的坐标平面.2.相点:相平面上任一点3.相轨迹:对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。4.相轨迹特点:⑴与初始点
2、(状态)密切相关.⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.5.相轨迹判断系统稳定性3二、相平面图绘制方法1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.4设二阶系统(*)若令则可积,便解出相轨迹方程,并由此画出相轨迹。以t为参变量（或消去t）也能画出相轨迹。例：如无阻尼二阶系统只考虑暂态解故取常数0。令则，设初始条件为整理上式并积分当然，若能直接通过（*）式求得，再求出。5其中当然还可解出消去t可得上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。6例:库仑摩擦二阶随动系统设时有方程令则上式有解式中A,B为实常
3、数与初始条件有关相轨迹分别为以为圆心的椭圆族.7由图可见⑴时,系统运动停止于横轴上，如⑵若以为纵轴将变成圆族。初始点1出发,经2，3点到横轴上4点，与0点有稳态偏差.8⒉图解法之一：等斜线法它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。由（x,y）平面上斜率其中这便是相轨迹上等斜线方程若令⑴画图原理：据不同的斜率c可画出等斜线方向场（分布）可证明不同c不相交，则对确定初始点沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）9⑵画图步骤：ii.作等斜线分布图iii.从初始点出发,沿相邻等斜线间的平均斜率依次作短直线便可画得。说明：等斜线未必都是直线，另外，为保证精度，等斜线分
4、布要有适当密度，密度可不一样。i.求出等斜线方程10例如令11等斜线方程:等斜线分布图.相轨迹A点直线段交c=1.2线于B.三、相轨迹之特征⒈奇点（平衡点）：系统的速度和加速度都为零有一个不为零，系统就未达到平衡状态，将继续运动。这样的点叫普通点。结论：⑴奇点是非线性系统唯一可能的平衡状态。12⑶利用系统特征方程根确定奇点位置及特征如二阶系统常令解出x.i.共轭复根在s左半平面:稳定焦点⑵线性系统有唯一奇点零输入条件下就在原点，非线性系统奇点若在原点不确定，则相轨迹会在该点相交.13ii．共俄复根在s右半平面:不稳定焦点iii.一对负实根稳定节点，临界稳定。iv.一对正
5、实根不稳定节点14V一对共轭虚根ξ＝０——中心点等幅振荡Vi一对共轭实根 （正反馈）——鞍点（不稳定）15可见，当定出奇点的特征，那么它附近导流的运动也相应确定下来。④特征区：奇点周围相轨迹具有共性的区域，共性是指普通点（描述点）在该区域内不是沿相轨迹趋于奇点（吸引）就是沿相轨迹离开奇点（发散），他们对应的区域分别称为吸引区、发散区。利用这一特征可判断系统品质。因为在奇点附近某一特征区域内画出一条相轨迹，即可知道其他初始条件下导流运况。这也为画相轨迹提供了理论依据。,例：试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。16解：①确定奇点令则原方程为奇点有两个②分析奇点性质(
6、0,0)奇点，由线性化方程为有稳定焦点（–2,0）奇点，坐标变换，令得17在y=0,=0线性化得有s²+0.5s–2=0鞍点，不稳定阴影为稳定区2.极限环（1）．定义：相平面中孤立，封闭相轨迹（奇线），自持振荡（稳定）。（二阶无阻尼系统就不是）环内环外两个区域内部特征相同，不可穿越。18四．非线性系统的相平面分析1．分析思路:用若干分段线性系统近似原非线性系统，把相平面表示一个线性系统的相平面图，在分区域的边界上，把各段相轨迹衔接起来，就得到所谓的相轨迹，即代表了整个非线性系统的运行规律。每个分段线性系统都有一个奇点，若它位于本身分区域内称为奇点，否则就是虚奇点。2．分
7、析步骤：19设有带饱和非线性的控制系统，开始处于静态，试用相平面法分析阶跃输入r(t)=R和斜坡输入r(t)=vt作用下的系统响应特性。例：a)划分线性区域。b)确定每个分区域上奇点类型。c)作出各分区域相轨迹。d)连接各分区域相轨迹构成“合成相轨迹”。20解：1.由饱和非线性特性得：区域划分2.奇点类型：系统动态方程为：由e=r-y可得误差形式的系统方程：A.阶跃输入时时则系统方程为：21则上面方程变为：缺项系统不稳定，无平衡点，无奇点ⅡⅢ在线性工作区Ⅰ区内，奇点为(0,0)代入T,K,得为稳定焦点。在Ⅱ，Ⅲ区内，令斜率分区划分为：Ⅰ2
