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《极坐标和参数方程基础知识及重点题型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、高中数学回归课本校本教材24（一）基础知识参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是MOx，则有序实数实数对(,),叫极径，叫极角；一般地，[0,2)，0。2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M(0,0),倾斜角为常见的等量关系：OPOM正弦定理，OMPOPM；0sinOMPsinOPM（2）圆心P(0,0)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；ep（3）圆锥曲线极坐标：，当e1时，方程表示双曲线；当e1时，方程表示抛物线；当0e11ecos3时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程
2、表示的曲线24cos是双曲线2223.参数方程：（1）圆(xa)(xb)r的参数方程：xarcos,xbrsin22xy（2）椭圆1的参数方程：xacos,xbsin22abyy0xx0yy0（3）直线过点M(x0,y0),倾斜角为的参数方程：tan即t，xx0cossinxx0tcosxx0yy0即注：cos，sin据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段MP的数量yytsin0tt其中t表示直线l上以定点M为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段MM的数量MM，000；当点M在M的上方时，t0；当点M在M的下方时，t0.0022x2pt4抛物线y
3、2pxp0的参数方程为：(t为参数)．y2pty1由于，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．xt2x2sin22如：将参数方程(为参数)化为普通方程为yx2(2x3)将ysin代入x2sin即可，但是2ysin20sin1；222xyxcos4.极坐标和直角坐标互化公式：或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.yysintan(x0)x（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.（2）将点(,)变成直角坐标(cos,sin)，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点：x32cos（1
4、）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如：已知圆C的参数方程为（y2sin为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线5的极坐标方程。cos()2622如：已知抛物线y4x，以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即。1cos（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6，焦距F1F242,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设F2F1M(0),当α为5何值时，MN与椭圆短轴长相等？或662（3
5、）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为22sin()20。（1）将上4述曲线方程化为普通方程；（2）若点P(x,y)是该曲线上任意点，求xy的取值范围。[222,222]（二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对(,),叫极径，叫极角；如：点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为22(2,)提示：(2,2k),kZ都是点M的极坐标.332.求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P(,)；（3）写出等式；（4）根据,几何意义用,表示上述等式，并化简（注意：x,y）；（5）验证。如：长为2a的线段，其端
6、点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为M，求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设点M的极坐标为(,)，则OBMAOM，且
7、OA
8、2asin，
9、OA
10、cos2asincosasin2，∴点M32的轨迹的极坐标方程为asin2(0).由asin2可得2asincos，323222222∴(xy)2axy其直角坐标方程为(xy)2axy(x0,y0).3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0,是求轨迹最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条
11、件确定其待定系数,代回方程⑶代入法(相关点法或转移法).如：从极点作圆2acos的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点M的极坐标1为(,),圆2acos上的动点的极坐标为(1,1)由题设可知,,将其代入圆的方程得:acos().1222⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段M
12、P的数量；如：已知过点P(9,3)的直线l与xx9tcos轴正半轴、y轴正半轴分
