巴斯卡定理证明阐释

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1、巴斯卡定理证明阐释主讲人：陈中林技术支持：老河口电大2014-8-20【定理内容】（文字）设A，B，C是直线l上互异的三点，A＇，B＇，C＇是直线l＇上互异的三点，那么三个交点：L=BC＇ｘB＇C，N=AB＇ｘA＇B，M=CA＇ｘC＇A共线。（图形）OA＇B＇C＇ABCNML【定理条件】（1）两点列没有特定要求，但存在一个公共交点，该交点可能是有穷远点，也可能是无穷远点，本课程采用有穷远点为公共交点。（2）两点列各取相异3点，共6个点，配成3对点组。（3）交点选取：3组对应点组为AA＇，BB＇，CC＇；每两组之间不共线错位点的连线的交点即为符合条件的点，有3个，设为N，

2、M，L。【定理结论】三交点共线【证明途径】要证三点共线，先转换成三线共点；为了证明三线共点需要寻找决定共点三线的特定点列，即透视点列；再利用点列透视的性质得到所要证明的结论。【理论依据】两点列透视则对应点的连线共点(中心)。【证明过程展示】图示OA＇B＇C＇ABCNMLKJHI方法一：分别以A，C为中心作透视变换（2次透视）。记J=C＇AｘA＇B，K=BC＇ｘCA＇，O=ABｘA＇B＇；选取两点列（A＇NJB）与（KLC＇B）加以考察，以A为中心将点列（A＇NJB）透视到点列（A＇B＇C＇O）；再以C为中心将点列（A＇B＇C＇O）透视到点列（KLC＇B），即（A＇NJB

3、）（A＇B＇C＇O）（KLC＇B）根据透视对应与射影对应的关系（透视对应的性质），可知（A＇NJB）（KLC＇B）这两个点列底存在以点B为自对应点，因此这两个点列透视。根据两个点列透视的性质得到A＇K,NL,JC＇三线交于一点，即N，M，L共线。证毕方法二，分别以A＇，C＇为中心作透视变换（2次透视）。同方法一一样，通过推导，可知以B＇为自对应点的点列（ANHB＇）与点列（ILCB＇）透视，由两个点列透视的性质得到三点N，M，L共线。说明本讲内容采用2003年中央电大出版社出版《几何基础》，于祖焕主编。