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时间:2019-06-02
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1、2008级第二学期高等数学(A类)期中考试答案一、(15分)设摆线一拱的参数方程,求:①摆线的弧长;②与轴所围成的图形的面积;③绕轴旋转所成的旋转体的体积。解:①从而(5分)②(5分)③(5分)二、(10分)设证明这三个向量共面,并用的线性组合表示。解:共面(5分)。令求得,从而(5分)三、(10分)问旋转曲面是怎样形成的?求它与平面的交线在面上的投影方程。解:此旋转曲面是由面上的椭圆绕轴旋转一周而得到的。(5分)由,消去,得,即,因此此交线在面上的投影方程为。(5分)四、(10分)求过点(0,2,4)且与两平面和平行的直线方程。解:平面的一法向量,平面的一法向量。(4
2、分)根据题意,所求直线的一方向向量,(4分)故得其方程为。(4分)五、(10分)求微分方程的特解。解:通解为,(6分)又由初始条件得(2分)故所求的特解。(2分)六、(10分)求微分方程的通解。解:特征方程为解得其特征根为。(2分)现先求原微分方程的一特解。因为不是特征根,所以可令一特解为,代入微分方程,得。故微分方程的一特解为。(2分)从而当时,有两相等的特征根,方程的通解为;(3分)当时,有一对共轭复根,方程的通解为(3分)七、(10分)设,而是由方程所确定的函数,其中都具有一阶连续偏导数,试证明证明:方法一.依据题意,方程确定了函数,由隐函数求导公式,得。(4分)
3、另外,方程确定了函数,在此方程两边对求导,得(4分)因此,。(2分)方法二.由,得;(2分)由,得。(2分)联立方程,有,消去,得,(4分)因此。(2分)八、(10分)设函数且有方程①(1)验证在点近旁由方程①式能确定可微的隐函数(2)试求解:(1)令,则从而函数的一阶偏导数连续并且由隐函数存在定理,故在点近旁由方程①式能确定可微的隐函数(5分)(2)(5分)九、(15分)设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的闭区域为,小山的高度函数为。(1)设,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式;(2)现欲利用此小山开展攀
4、岩活动,为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点,也就是说,要在D的边界线上找出(1)中达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。解:(1)。对,在该点沿梯度方向的方向导数最大,其值为。(4分)(2)依据题意,问题转化为求在限制条件下的条件最值。引进拉格朗日函数,由,解得所有可能极值点为。(7分)因为曲线是封闭的,在D上连续,所以最大值只能在这些点中取得。(2分)又,,比较得,在边界线上的点或处,达到最大值,因此确定攀岩起点的位置应为点或。(2分)
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