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1、第27卷第3期经济数学Vol.27,No.32010年9月MATHEMATICSINECONOMICSSep.2010客户回报随机过程的Markov性*和时间齐次性莫晓云(湖南财政经济学院,湖南长沙410205)摘要在客户发展关系的Markov链模型的基础上,构建了企业的客户回报随机过程.证明了:在适当假设下,客户回报过程是Markov链,甚至是时间齐次的Markov链.本文求出了该链的转移概率.通过转移概率得到了客户给企业期望回报的一些计算公式,从而为企业选定发展客户关系策略提供了有效的量化基础.
2、关键词客户回报随机过程;Markov性;时间齐次性;转移概率;期望回报中图分类号O211.6;F224.7文献标识码:A1引言Markov链理论在企业的客户管理中有很广泛的应用.在文献[1]中,用概率论随机过程中的Markov链来刻画企业与客户发展关系的一般模型.企业在关注其内部产品生产的同[2-4]时,越来越多地关注企业外部的客户关系.企业根据自身利益来划分客户类别的原则各不相同.由于各种因素的作用,会导致客户关系有不同的可能发展.当企业与客户发展关系时,很有必要估算发展这一关系在未
3、来一段时间内给企业的可能回报.如果可能的回报大于或等于企业的期望回报时,就可以全力发展这一关系,否则,就放弃.因此,建立客户回报模型,很有必要.本文构建了客户回报随机过程,并证明了:在适当的假设条件下,客户回报随机过程是一个Markov链,甚至是一个时间齐次的Markov链.本文求出了该链的转移概率,并得到了客户给企业回报的一些计算公式,从而为企业选定发展客户关系策略提供了有效的量化基础.2企业的客户发展关系Markov链模型描述企业根据自身的利益考虑,将客户分成若干类别.假定某企业将其客户分成M+1个类别(M2
4、),编号为0,1,,M,并记集合S={0,1,,M},其中,0类客户是和企业尚未接触过的客户,1,,M-1类客户是和企业正在接触的客户,M类客户是和企业接触过但已终止接触的客户.如果客户属于某类i(!S),就说客户处于状态i.考虑离散时刻n=0,1,2,以及第n时段(n,n+1].*收稿日期:20091106基金项目:国家自然科学基金资助项目(10871064);湖南省教育厅科研资助项目(09C011);湖南省高校重点实验室开放基金资助项目(09K026)作者简介:莫晓云(1972∀),女,湖南岳阳人,硕士,讲师
5、Email:moxyun72@163.com第3期莫晓云:客户回报随机过程的Markov性和时间齐次性∀29∀为了研究企业和客户关系的发展,考察某个泛指的客户,称之为客户甲.将研究客户甲所处的类别即状态随着时间流逝的动态变化.用n表示客户甲在n时刻所处的状态,n是取值于S的随机变量.称{n,n0}为客户甲的状态随机过程,简称客户状态过程.根据文献[1,4],可以合理地作出下面的假设1.假设1客户状态过程={n,n0}是Markov链,其状态空间为S={0,1,,M}.[5-6]于是可用Markov链
6、理论来建立客户发展关系模型.Markov链于m(0)时刻的一步转移矩阵记为mP=(mPi,j,i,j=0,1,M):mP00mP01mP02mP0MmP10mP11mP12mP1MmP=mP20mP21mP22mP2M(1)mPM0mPM1mPM2mPMM其中,矩阵的元素mPij0,且每行之和等于1.矩阵mP可刻画客户甲的状态的动态变化,即刻画了客户甲所处的类别随时间的变化规律.当Markov链是时间齐次情形时,有mPij=Pij,mP=P,与m无关,也就是文献[1]中的客户发展关系的普遍模型.(n
7、)客户甲于m时刻在经历n个时间单位后,从状态i转移到状态j的概率记为mPij,记矩阵(n)(n)mP=(mPij,i,j!S),称它为Markov链于m时刻的n步转移概率矩阵,其元素称为链于m[5-6]时刻的n步转移概率.根据Markov链的KolmogorovChapman方程,有(n)mP=mP#m+1P##m+n-1P.(2)于是Markov链的n步转移概率可以通过一步转移概率表述.当链是时间齐次情形,式(2)成(n)n(0)(0)为P=P,后者是P的n次幂.约定:mP=(mPij,i,j!S)是单位矩阵.3
8、客户回报过程的Markov性和时间齐次性31客户回报过程客户给企业带来的毛利润减去企业对客户的开发成本叫做客户给企业的回报,简称客户回报.在不同时段、不同市场情况下,客户所处的状态即类别不同,其回报也是不同的.设客户甲在n时刻处于状态i时在第n时段(n,n+1]的回报为n(i).由于可以有负的回报,故它是取值于R=(-¥,+¥)的随机变量
