资源描述：
《2015高考真题立体大题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2005年各地区高考题---立体几何汇编【全国一】1．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中
2、，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.试卷第29页，总29页（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0,），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.【全国二】2．（本题满分12分）如图，长方体中,，，
3、，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．DD1C1A1EFABCB1（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：试卷第29页，总29页（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．【北京】3．（本小题14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，
4、，，，，为的中点．试卷第29页，总29页（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若平面，求的值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，，，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得或，由于，则.【上海】4．（本题满
5、分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.试卷第29页，总29页【答案】【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．因为，，所以，因此直线与共面，即、、、共面．设平面的法向量为，则，，又，，故，解得．取，得平面的一个法向量．又，故．因此直线与平面所成的角的大小为．【天津】5．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,试卷第29页，总29页,且点M和N分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值
6、为，求线段的长【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面试卷第29页，总29页（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.【重庆】6．（本小题满分13分，（1）小问4要，（2）小问9分）如图，三棱锥
7、中，平面分别为线段上的点，且（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值。试卷第29页，总29页【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，
8、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），设平面的法向量，由，，得.
