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1、DiscreteMath.离散数学第一章命题逻辑Ø1.1命题符号化及联结词Ø1.2命题公式及分类Ø1.3等值演算Ø1.4联结词全功能集Ø1.5对偶与范式Ø1.6推理理论Ø1.7题例分析1.6推理理论1.推理的基本概念和推理形式Ø推理:从已知的命题公式应用推理规则推出新的命题公式的思维过程.l在数理逻辑中,前提H(Hypothesis)是一个或n个命题公式H1,H2,…,Hn,结论C(Conclusion)是一个命题公式.ØDef.若(A1∧A2∧…∧An)®B是重言式,则称A1,A2,…,An推结论B的推理正确,B是A1,A2,…,An的逻辑结论或有效结论.l
2、用AÞB(A逻辑蕴涵B)表示A®B是重言式l记为(A1∧A2∧…∧An)ÞB®vsÞØ符号®和Þ的区别与联系(类似于«和Û)l(A«B)Û1iffAÛBl(A®B)Û1iffAÞBØ区别：l®是逻辑联结词,属于目标语言中的符号,是公式中的符号;lÞ不是联结词,属于元语言中的符号,表示两个公式之间的关系,不是两公式的符号.Ø联系：l(A®B)Û1iffAÞB逻辑蕴涵性质Ø逻辑蕴涵有下列性质：①.自反性，AÞA．②.传递性，若AÞB,BÞC,则AÞC．③.若AÞB,AÞC,则AÞ(B∧C)．④.若AÞC,BÞC,则A∨BÞC．ØTh.AÛBiffAÞB且BÞA．Ø
3、证.A«BÛ(A®B)∧(B®A)l必要性：若AÛB，则A«B是永真式，故A®B和B®A皆为真,即AÞB,BÞA.l充分性：若AÞB且BÞA，即A®B和B®A为永真式，故A«B为永真，即AÛB.1.6推理理论Ø在逻辑学中，把从前提(公理或假设)出发，依据公认的推理规则，推导出一个结论，这一过程称为有效推理或形式证明，所得结论叫做有效结论。Ø注：最关心的不是结论的真实性而是推理的有效性．l有效的推理不一定产生真实的结论，产生真实结论的推理过程未必是有效的。l有效的推理中可能包含假的前提；而无效的推理却可能包含真的前提．推理的有效性是一回事，前提与结论的真实与否是
4、另一回事．l所谓推理有效，指它的结论是它的前提的合乎逻辑的结果，即如果它的前提都为真,那么所得结论也必然为真，而并不是要求前提或结论一定为真或为假．如果推理是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它的结论为假．1.6推理理论Ø例.判断下面推理是否正确•1).如果天气凉快，小王就不去游泳；天气凉快，所以小王没去游泳。•2).如果我上街，我一定去新华书店；我没上街，所以我没去新华书店。Ø步骤：•1).命题符号化•2).写出前提、结论和推理的形式结构•3).判断•真值表•等值演算•主析取/合取范式1.6推理理论Ø例.判断下面推理是否正确•1).如果天气凉快，小王就不
5、去游泳；天气凉快，所以小王没去游泳。Ø解.p:天气凉快,q:小王去游泳•前提:p®¬q,p•结论:¬q•2).如果我上街，我一定去新华书店；我没上街，所以我没去新华书店。Ø解.p:我上街,q:我去新华书店•前提:p®q,¬p•结论:¬q判断有效结论的常用方法Ø论证过程是判别有效结论的过程,基本方法有:Ø1).真值表法l设P,P,…,P是前提A,A,…,A和结论B中的全部命题变12m12n项,对P,P,…,P作全部的真值指派,对应地确定A,12m1A,…,A和B的所有真值,列出相应的真值表.2nØ(A∧A∧…∧A)®B是重言式12nl若真值表中对于A,A,…,A
6、真值均为1的每一个这12n样的行,若B真值也为1,则推理正确;l若对于B的真值为0的每一个这样的行,A,A,…,A12n的真值中至少有一个为0,则推理正确.Ø真值表法原则上可以解决推理的有效性问题,但当公式中的命题变项数目很大时,真值表法不实用.推理定律Ø2).直接证法l由一组前提出发,利用一些公认的推理定律或规则,根据已知的等价或蕴含公式,得到有效的结论.Ø推理定律•AÞA∨B,BÞA∨B附加•A∧BÞA,A∧BÞB化简•(A→B)∧AÞB假言推理•(A→B)∧¬BÞ¬A拒取式•(A∨B)∧¬AÞB析取三段论•(A→B)∧(B→C)ÞA→C假言三段论•(A«
7、B)∧(B«C)ÞA«C等价三段论•(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)ÞB∨D构造性二难推理规则Ø从前提推导出结论，要依据事先提供的公认的推理规则：①.前提引入规则(P规则):在证明的任何步骤上,都可以引用前提．②.结论引入规则(T规则):在证明的任何步骤上,已证明的结论都可以作为后续证明的前提.③.置换规则:在证明的任何步骤上,公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换.④.附加前提证明(CP规则):若推出的有效结论为条件式R®C时,只需将其前件R引入到前提中作为附加前提,再去推出后件C即可.推理规则lA,A,…,A╞B表示B是A,A,…,A的逻辑
8、结论12k12klA,A,…,A╞B等
