理论物理基础教程刘连寿第五篇第一章答案

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1、P3051.计算下列各种频率的谐振子的能量子：(a)u=50HZ的带电谐振子；(b)10u=10HZ的微波；(c)15u=10HZ的光波，进而指出为什么普通振子的能量不显分立性。答：(a)-34-32hu=6.63*10J×S*50HZ=3.31*10J-3410-24(b)hu=6.63*10*10=6.63*10J(c)-3415-19hu=6.63*10*10=6.63*10J普通振子的能量子很小，它的能量变化很小，近似是连续变化的。2.计算下列粒子的德布罗意波长(a)能量为100eV的自由电子；(b

2、)被1510V电子差加速的质子；-1(c)以速度1m·S运动的质量为1Kg的质点；(d)T=300K时，以麦克斯韦分布的最概然速度运动的中子，进而指出在普通条件下观察不到粒子的波动性。o-10答：(a)l=h/p=h/2mE=1.23*10m=1.23A222412(b)E=pc+mc，E=uq>>mc，所以质子的速度2无限趋近于光速。因为总能量远大于静能2mc，此时m可以-21忽略，E»pc，l=h/p=hc/E=hc/uq=1.24*10mPDF文件使用"pdfFactory"试用版本创建www.fin

3、eprint.cno-34-24(c)l=h/p=h/mv=6.63*10m=6.63*10A2kToB-10(d)vp=，l=h/p=h/mvp=1.78*10m=1.78Am在普通条件下，实物粒子的波长很小，所以不表现出波动性。P336ˆvˆvˆ2v1.证明动量算符L=-ihr´Ñ和哈密顿算符H=P/2m+U(r)是厄米算符。ˆvˆ¶¶证明：L=-ihr´Ñ，所以Lx=yˆpˆz-zˆpˆy=-ih(y-z)¶z¶y¶¶Lˆ=-ih(z-x)y¶x¶z¶¶Lˆ=-ih(x-y)z¶y¶x对于一个分量Lˆ

4、x来说¥¥¥**¶¶*¶v¶vuLˆvdt=u[-ih(y-z)]vdt=-ihu(y-z)dtòxòò¶z¶y¶z¶y-¥-¥-¥¥¥*¶v*¶v=-ihòuydt+ihòuzdt¶z¶y-¥-¥¥¥*¶v*¶v=-ihòyudt+ihòzudt¶z¶y-¥-¥¥*¥**z=+¥¶u*z=+¥¶u=-ihy(uv)+ihòyvdt+ihz(uv)-ihòzvdtz=-¥¶zz=-¥¶y-¥-¥因为在z®±¥时，u，v都趋于0，所以第一项和第三项都为0，所以，上式变为PDF文件使用"pdfFactory"试

5、用版本创建www.fineprint.cn¥*¥*¶u¶u=ihòyvdt-ihòzvdt¶z¶y-¥-¥¥**¶u¶u=ihòv(y-z)dt¶z¶y-¥¥¶u¶u*=òv[-ih(y-z)]dt¶z¶y-¥¥*=v(Lˆu)dtòx-¥vˆv所以，Lˆx为厄米算符，同理可得Lˆy，Lˆz为厄米算符，L=-ihr´Ñvˆ为的Lˆx，Lˆy，Lˆz合矢量，L为厄米算符ˆvˆ2v2H=P/2m+U(r)，对于一个分量Hˆ来说Hˆ=Pˆ/2m+U(x)xxx~因为P&&*=Pˆ+=Pˆ，动量为厄米算符+2+2所

6、以Hˆx=[Pˆx/2m+U(x)]=Pˆx/2m+U(x)=Hˆx++同理可得Hˆy，Hˆz也一样。所以，Hˆ+=Hˆ，哈密顿算符也是厄米算符。2.若Fˆ不是厄米的，证明Fˆ+Fˆ+和i(Fˆ-Fˆ+)是厄米的，并且可Fˆ+Fˆ+Fˆ-Fˆ+写成Fˆ=+i22证明：Fˆ不是厄米的，但是*+**+**òu[Fˆ+Fˆ]vdt=òuFˆvdt+òuFˆvdt=òuFˆvdt+òv(Fˆu)dtv[(Fˆ+Fˆ+)u]*dt=v(Fˆu)*dt+v(Fˆ+u)*dt=v(Fˆu)*dt+u*Fˆ++vdt=òò

7、òòòv(Fˆu)*dt+u*FˆvdtòòPDF文件使用"pdfFactory"试用版本创建www.fineprint.cn*++*+所以òu[Fˆ+Fˆ]vdt=òv[(Fˆ+Fˆ)u]dt，Fˆ+Fˆ是厄米算符。*+**+**同理，òu[i(Fˆ-Fˆ)]vdt=iòuFˆvdt-iòuFˆvdt=iòuFˆvdt-iòv(Fˆu)dtv[(Fˆ-Fˆ+)iu]*dt=(-i)v(Fˆu)*dt+iv(Fˆ+u)*dt=-iv(Fˆu)*dt+iu*Fˆ++vdt=òòòòò-iv(Fˆu)*dt+i

8、u*Fˆvdtòò*++*+所以，òu[i(Fˆ-Fˆ)]vdt=òv[i(Fˆ-Fˆ)u]dt，i(Fˆ-Fˆ)是厄米的。Fˆ+Fˆ+Fˆ-Fˆ+FˆFˆ+FˆFˆ+因为+i=++-=Fˆ，222222Fˆ+Fˆ+Fˆ-Fˆ+所以，可以写成Fˆ=+i。223.利用在宽为a的势箱中形成驻波的条件——势箱宽度等于半波长的整数倍，求势箱中粒子的能谱。解：4.波尔原子模型假定，氢原子中的电子在绕核的圆形轨道上运动。将电