王蓉 电子衍射运动学

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1、电子衍射运动学理论电子衍射运动学理论王王蓉蓉北京科技大学材料物理系北京科技大学材料物理系100083100083北京北京内内容容¾¾电子波函数与波动方程电子波函数与波动方程¾¾基尔霍夫基尔霍夫((KirchhoffKirchhoff))公式、菲涅尔衍射与公式、菲涅尔衍射与夫琅和费衍射夫琅和费衍射¾¾散射理论近似与运动学近似散射理论近似与运动学近似¾¾振幅衬度与相位衬度、相位物近似与弱相振幅衬度与相位衬度、相位物近似与弱相位物近似位物近似¾¾散射振幅、消光距离、偏离参量散射振幅、消光距离、偏离参量¾¾相位衬度与衍射衬度成像运动学近似间的相位衬度与衍射衬度成像运

2、动学近似间的关系关系电子波函数与波动方程电子波函数与波动方程¾电子波是一种几率波，称为德布罗意波。用电子波是一种几率波，称为德布罗意波。用波函数来描述电子的一个运动状态，波函数来描述电子的一个运动状态，Ψ(r,t)=Ψexp[2πi(νt−k⋅r)]01k=λ用薛定锷用薛定锷((SchrodingerSchrodinger))方程来描述微观粒方程来描述微观粒子状态的变化，子状态的变化，2h∂Ψ2−∇ΨΨ+Ui()r=−h2m∂t这里，这里，U(r)是粒子在外势场中的势能是粒子在外势场中的势能当电子波是单色平面波时，得到定态薛定锷方程当电子波是单色平面波时，得

3、到定态薛定锷方程2me2∇+ΨΨ[(ϕr)+V]=02h取真空中电子势函数为零，电子波在真空中传播取真空中电子势函数为零，电子波在真空中传播时波矢量的大小则是时波矢量的大小则是12meV2πk=()2=02hλ在用在用ϕ(r)描述的静电势中传播的电子波波矢量的描述的静电势中传播的电子波波矢量的大小是大小是12me2k=+((2ϕ(r)V))h¾研究电子波的运动状态归结到，研究电子波的运动状态归结到，在已知在已知ϕ(r)静电静电势中，求解定态薛定锷方程势中，求解定态薛定锷方程。。22如果波振幅不随时间变化，有如果波振幅不随时间变化，有Ψ(r,t)=Ψ(r)定态

4、波函数解可记为定态波函数解可记为Ψ(r,t)=Ψ(r)exp(2πiνt)Ψ()r也是波函数解，它仅是坐标的函数，与时间也是波函数解，它仅是坐标的函数，与时间无关。无关。¾问题则又归结为问题则又归结为求解满足定态薛定锷方程的波求解满足定态薛定锷方程的波函数函数Ψ()r电子运动状态也可以用波矢量电子运动状态也可以用波矢量((或动量或动量))作为自变作为自变量来表述，波函数的两种表述量来表述，波函数的两种表述Ψ()r与与Ψ()k是用是用富里叶富里叶((Fourier)Fourier)变换相联系的。变换相联系的。基尔霍夫基尔霍夫((KirchhoffKirchho

5、ff))公式、菲涅尔衍射公式、菲涅尔衍射与夫琅和费衍射与夫琅和费衍射¾基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。1exp(−ikr)exp(−ikr)u=⋅−graduu⋅grad[]dsp∫4πrr基尔霍夫公式推导所涉及的各矢量的坐标位置¾考虑单位平面波入射，散射物是用考虑单位平面波入射，散射物是用透射函数透射函数描述描述的平面物的情况，的平面物的情况，P点处观察到的散射总扰动则是：点处观察到的散射总扰动则是：iexp(−ikr)u=−exp(−iqkr⋅)(X,Y)(c1+osα)dsp∫02λr平面波入射下基尔霍夫公式的简

6、化¾引进菲涅尔近似条件：引进菲涅尔近似条件：ò物面上的尺寸远小于传播距离；ò入射波波长比物面上尺寸又小得多，散射角很小，即满足小角近似条件。12222¾将将rR=+[(x−X)+(y−Y)]做二项式展开，忽略高次项：做二项式展开，忽略高次项：22()xX−+(y−Y)rR=+2R菲涅尔衍射的坐标配置¾得到菲涅尔衍射公式：得到菲涅尔衍射公式：∞∞221−−ik[(xX)+(y−Y)]Ψ(xy,,R)=−exp(iqkR⋅)(X,Y)exp()dXdY0∫∫iRλ2R−∞−∞公式描述的是一种卷积运算，即公式描述的是一种卷积运算，即Ψ(x,y,R)=exp(−ik

7、⋅R)[q(x,y)∗p(x,y)]0其中，其中，221−ik(x+y)p(x,y)=exp()iλR2R称称p(x,y)为为传播函数传播函数((propagationfunction)propagationfunction)qX(,Y)p(x,y)¾透射函数透射函数和传播函数和传播函数是描述是描述电子波近场传播的基本函数。电子波近场传播的基本函数。¾¾卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅尔衍射复振幅和强度分布的数学工具尔衍射复振幅和强度分布的数学工具。。¾引进夫琅和费引进夫琅和费远场近远场近似似条件条件::物面上的尺寸物

8、面上的尺寸远小于传播距离远小于传播距离12222r≈