动力学问题的有限元法

《动力学问题的有限元法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第七章动力学问题的有限元法结构动力学是研究动载荷作用下结构动力反应规律的学科，讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法，寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系。研究结构在动力荷载作用下的反应规律，能够为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。前面介绍的静力学问题的研究对象是受不随时间变化的载荷作用。而动力学问题的对象受随时间而变的载荷的作用，从而使在结构中产生的位移、速度、应力和应变都随时间而变。当结构受随时间变化的载荷作用，且这种载荷的作用对结构的变形和应力的产生起主要作用，以致影

2、响设备的安全性，或舒适性。这时就要进行动力学分析，充分认识其规律性，从设计阶段就抑制这种不利状况的发生。例如，有时虽然动载荷不大，但结构在交变力的作用下，其某些固有频率与激励力的作用频率相接近时，就会引起很大的振动、变形或应力，这时，就必须对结构作动力学分析。又如，要利用结构在周期性作用力驱动下的定向振动，例如利用这种运动输送产品，这时，就必须巧妙地设计结构，使其具有某些与激励频率一致的固有频率，并且使结构对激励具有适当的响应能力。总之，不管是利用振动，还是抑制振动，都需要进行结构动力学分析。当前结构动

3、力学的研究内容有三类。第一类问题：反应分析（结构动力计算），第二类问题：参数（或称系统）识别，第三类问题：荷载识别。第一类问题是已知系统动态特性和动载荷作用部位及大小，求出系统的响应——随时间变化的位移，速度，加速度和应力等。第二类问题是已知系统的输入输出特性，分析系统固有的动态特性，结构模态分析就属于这一类问题。第三类问题是在已知系统动态特性的条件下,通过测量系统的响应,或由响应准则预先给出响应要求,以此识别对响应的外载荷。三类结构动力学研究内容的载荷、结构和响应之间的关系如图7-1所示。动载荷种类大

4、致分类如图7-2所示。图7-1结构动力学研究的内容图7-2动载荷种类1本章主要介绍结构动力学分析的基础知识，并主要介绍系统固有特性的有限元分析方法——有限元模态分析。主要知识点：1.导出有限元的结构动力学方程和模态分析有限元方程。2.介绍模态分析方程中质量矩阵与阻尼矩阵的计算。3.把计算结构的固有频率与振型的问题归纳为一个求特征值的问题。7.1．结构动力学方程及有限元方程系统的受迫振动的微分方程：m(x+cxkx+=Rt)其中：m——质量，——阻尼系数，——弹性系数。ckx,,xx分别为加速

5、度，速度和位移。1.单元的动力方程：（用“虚功原理”求解）结构动力学有限元分析与静力学的有限元分析一样，首先要建立单元的有限元方程。为求解起见，要引入达朗贝尔原理。质点的达朗贝尔原理可表述为：当非自由质点m运动时，主动力F，约束反力N和惯性力S构成一个动平衡力系。惯性力是一种虚构的力，由质点的加速度引起。即：fns++=0现考察单元的动力学方程的建立。1).准备工作：将位移函数{δ}表达成近似函数。ee单元内任一点位移{}δδ==[NN]{}[(,,)()xyz]{}δt，是单元内位移的近似函数,这儿[

6、N]e只是位置的函数，与时间无关。而{}δ与时间相关。⎧⎪[NN]=[(,,)xyz]⎨ee⎪⎩{}{δδ=()t}e{δ}=[]N{δ}e{}δ=[]N{}δ2).分析单元上的作用力。图7-3单元分析主动力：集中力，面力，体积力：{RRRR}=++psV阻尼力：与速度相关，并与速度方向相反，两者的比例关系为阻尼系数：e{}RCCc=−{δ}=−[]N{δ}2e惯性力：与加速度，质量相关：单位体积惯性力{}R=−ρ{δρδ}=−[]N{},阻尼力、惯性力m与主动力方向相反。ρ——

7、密度，单位体积质量。3).建立动力学平衡方程：利用虚功原理和达朗贝尔原理，系统处于动平衡，首先将载荷移置到节点上去。利用虚功原理。外力做的虚功：TeTT⎧集中力：{}δδ**{}RN={}[]{}Rpp⎪⎪**TeTT⎪面力：∫∫SsS11{}δδ{}RdS11={}[]NRdS{}s⎪⎪TeTT**δδWR==∑⎨体积力：∫∫VVV{}{}dV{}δ[]N{}RVdV⎪TeTT**⎪阻尼力：∫∫VCV{}δδ{}RdV={}[]NRd{}CV⎪TeTT⎪**⎪⎩惯性力：∫∫VmV{}δδ{}RdV={

8、}[]NRd{}mVTeTTe**内力做的虚功：δεUd=={}{}σVB{δ}[][][]DB{}δdV∫∫VV虚功原理：δWUWU=⇒−=δδ()0，最小势能原理根据虚功原理，应有δWU=δeTeTTTeT***{δδ}[]NR{pS}+++∫∫1{}[]NRd{}sS1V{δ}[]NRd{}VVeTTTTeTeTe***++=∫∫∫VC{}δδδ[]NRd{}VVm{}[]NRd{}VV{}[][][]BDBd{}δVeT*由{δ}的