结构动力学问题的有限元法

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1、5动态分析有限元法工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达；受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。动载荷（又称动力分析）固有特性分析响应分析固有频率振型位移响应速度响应加速度响应动应变动应力固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。第一节动态分析有限元法的特点一、载荷特点结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与静力分析的一个根本区

2、别。二、位移特点1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节点位移{q}作为基本未知量。2、节点具有速度加速度。3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t变化的函数。5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，

3、然后再集成。整个结构的平衡方程为式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。第二节动态分析有限元法的一般步骤一、结构离散该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求有可能不一样。静力分析：要求在应力集中部位加密网格；动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求整个结构采用尽可能均匀的网格形式。二、单元分析单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。动态分析中，仍采用虚位移原

4、理建立单元特性矩阵。在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移，则单元内也产生相应的虚位移和虚应变。单元内产生的虚应变能为:单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力和阻尼力，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；V为单元面积；A为单元面积。由于且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为式中分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵

5、，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。1、一致质量矩阵按形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函数的形式。2、集中质量矩阵集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩阵。集中质量矩阵是一个对角阵，集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利用这种矩阵计算

6、出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。三、总体矩阵集成总体矩阵集成的任务是将各单元特性矩阵装配成整个结构的特性矩阵，从而建立整体平衡方程，即式中，{q}为所以节点位移分量组成的n阶列阵，n为结构总自由度数；（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。其中[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵[M]、[C]也采用与[K]相同的集成方式，

7、即矩阵[K]、[M]和[C]均为n阶对称阵。四、固有特性分析结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为将解代入振动方程中，同时消去因子ejωt，可得振型{Φi}是

8、结构按频率ωi振动时各自由度方向振幅间