FEM结构动力学问题有限元解读课件.ppt

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1、有限元方法与应用结构动力学问题有限元结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。地震荷载风荷载：Tacoma大桥风毁录像动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。输入input输出Output结构体系静力响应静荷载位移内力应力刚度、约束杆件尺寸截面特性大小方向作用点结构体系动力响应输入input输出Output动荷载动位移加速度速度动应力动力系数随时间变化质量、刚度阻尼、约束频率、振型大小方向作用点时间变化数值时间函数结构动力体系动载荷（又称动力分析）固有特性分析响应分析固有频率振型位移响应速度响应加速度响应动应变动应力固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决

2、定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静力学的有限元法

3、，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型

4、对运动方程式进行变换。动力学有限元法的特点一、载荷特点结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与静力分析的一个根本区别。二、位移特点1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节点位移{q}作为基本未知量。2、节点具有速度加速度。3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移,一般仍采用与静力分析相同的形函数[N]。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t变化的函数。5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗伯原理，引入惯性力和

5、阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。整个结构的平衡方程为：式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。动态分析有限元法的一般步骤1.结构离散：该步骤与静力分析基本相同2.单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵（刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵），形成单元特性方程。在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移，则单元内也产生相应的虚位移和虚应变。单元内产生的虚应变能为:单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力和阻尼力，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：式中，{Pv}、{Ps}

6、、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；V为单元面积；A为单元面积。由于且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为式中分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。四、固有特性分析结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。固有特性分析就是对

7、模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为将解代入振动方程中，同时消去因子ejωt，可得振型{Φi}是结构按频率ωi振动时各自由度方向振幅间的相对