偏心圆环管中非牛顿流体流动的数值计算

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1、http://www.paper.edu.cn偏心圆环管中非牛顿流体流动的数值计算许彬，张敏，房萍萍南京理工大学动力工程学院，南京（210094）摘要：通过坐标变换，在偏心圆环域中生成正交结构化网格，用有限差分法以及二阶精度的离散格式，研究计算非牛顿流体在充分发展层流情况下的流动特性，并将其计算结果同牛顿流体和实验结果相比较。在不同偏心率(0≤ε*≤0.6)，不同半径率(0.2≤r*≤0.8)和不同流体指数(0.2≤n≤1)范围内寻找流动滞止规律，为石油化工工业生产过程提供有参考性的结果。关键词：偏心圆环管，层流，幂律流体1.引言在

2、石油、化学和食品工业等领域，诸如压缩机、传输和打井过程中，经常会遇到非牛顿流体流动的问题，因此研究非牛顿流体在圆环管中的流动特性对工业生产过程的安全性和效益都十分必要。非牛顿流体的剪切应变力与剪切应变张量成非线性的幂函数关系。对于一切流体可用Ostwald-deWaele关系式来描述这种关系，n−1⎡⎤1τ=−⎢K(∆:∆)⎥∆=µ∆(1)i,ji,ji,ji,jaij⎢2⎥⎣⎦[1]其中，K为物性系数，n为流动特性系数，∆是应变张量，µ为平均粘性系数。对ija于剪切稀化流体或者伪塑性流体来说n小于1，对于剪切稠化流体或者膨胀流体n

3、大于1，[2][1][3]对于牛顿流体n等于1。关于这方面的描述可参考Skelland,Birdetal.,Fenner，Cho[4]和Hartnett等其他研究者的文章。[5]对于偏心圆环管中牛顿流体流动情况的研究，Piercyetal.是最早的研究者之一，他[6]给出了充分发展层流速度场和摩擦因子的分析解。Snyder和Goldstein等人通过使用双极坐标系也进行了类似的研究。以上研究者的工作主要局限于牛顿流体，而对非牛顿流体的研究和分析还是很少，而且很不完善。本文采用有限差分法，对非牛顿流体在具有较大偏心率(0≤ε*≤0.6

4、)和半径率(0.2≤r*≤0.8)范围内的流动进行数值计算和研究分析，并得到有参考价值的结果。2.基本数学表达式轴向垂直偏心圆环管的几何形状和坐标系如图1所示。外圆环半径为ro，内圆环半径为ri，坐标原点设在外圆环的圆心，偏心距ε定义为两个圆心之间的距离，内圆环中心点到外圆环边界的距离用形状函数R(ψ)来表示。在本文中，考虑的是常物性充分发展剪切稀化层流在偏心圆环管中的流动情况。通过下面的坐标变换，可以将图1的偏心圆环管转换成无量纲的单位圆域，r−rir=,Ψ=Ψ(2)B(Ψ)r0其中，无量纲形状函数B()ψ为，-1-http://

5、www.paper.edu.cnB(Ψ)=[(R(Ψ)−ri)/r0](3)[]2221/2=1−ε∗(1−r∗)sinΨ−ε∗(1−r∗)cosΨ−r∗此处半径率和无量纲偏心率被定义为，r∗=r/r,ε∗=ε/(r−r)(4)i00i从上面可知，这种变换要求B()ψ满足连续性和二次可微的条件。对于速度w，有如下定义，1/n[]2w=w/(−dp/dz)d/K(5)hFig.1.Flowcross-sectiongeometryandcoordinatesystemforaneccentricannulus.图1偏心圆环管的几何形状

6、和坐标系轴向动量守恒方程的无量纲形式表示如下，1∂⎡∂w⎤1∂∂w(Br+r*)µ+(µ)B2(Br+r*)∂r⎢a∂r⎥(Br+r*)2∂ψa∂ψ⎣⎦//1∂B∂w1B∂∂w−2(µar)−2(µa)(6)(Br+r*)∂ψB∂r(Br+r*)B∂r∂ψn+1/1∂B∂w⎡1⎤+(µr)+⎥=02a⎢(Br+r*)∂rB∂r⎣2(1−r*)⎦µ其中，无量纲化相对粘性系数a表示为，µaµa=n−1/n[]n−1n−1(−dp/dz)d/K/rh0(7)(n−1)/22⎧1∂w2⎡1∂wB/∂w⎤⎫⎪⎡⎤⎪=⎨⎢⎥+⎢(−r)⎥⎬⎪⎩

7、⎣B∂r⎦⎣(Br+r*)∂ψB∂r⎦⎪⎭对于方程（6）有无滑移边界条件，-2-http://www.paper.edu.cnw=0,r=0,0≤ψ≤2π,(8)w=0,r=1,0≤ψ≤2π在上面的计算公式中，无量纲形状函数的一阶和二阶导数（都必须是连续函数）分别为，/22B=(dB/dψ),B"=(dB/dψ)(9)w最后，无量纲平均流动速度m可以根据下式进行计算，112πwm=2∫∫wB(Br+r∗)dψdr(10)π(1−r∗)00方程（6-10）提供了一套完整的方程组，用它可以计算偏心圆环管通道中非牛顿流体的轴向速度分布。3

8、.数值方法[7-8]控制方程的求解采用有限差分方法，此种方法最早被Manglik和Bergles引入到偏心圆环管的数值计算中。方程（6-10）给出了计算流场进行变换的数学描述。网格的划分为径向N和周向N，它们是均匀分割，并且以单位圆（