第三讲 函数与方程及函数的实际应用

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1、惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.个性化教学设计教案授课时间：2011年7月20日（8:00--10：15）备课时间：2011年7月18日年级：高二学科：数学课时：3学生姓名：课题名称第三讲函数与方程及函数的实际应用授课教师：曾先兵教学目标1．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应

2、方程的近似解。2．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。教学过程一、函数的零点1．三个等价关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y＝f

3、(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．(尤其注意，f(a)f(b)<0是“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点”的充分不必要条件)二、二分法1．二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0.2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近．3．二分法的步骤：其中给定精确度ε的含义是区间(a，b)长度

4、a－b

5、<ε，

6、不能认为是函数零点近似值的精度．三、函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：1．阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．2．数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．3．解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．4．实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．四、二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次函数、二次方程、二次不等式是最基本的知识点，“三个二次型”是一个有机的整体

7、，其中二次函数的图象是联系三者的桥梁和纽带．第9页共9页惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.一：函数零点问题1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。2．函

8、数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．如果要判断函数在给定区间上不存在零点，则只需说明函数图象在此区间上与x轴无交点，或者说明函数在此区间上的最大(小)值恒小(大)于零就可以了．如果想准确判定零点的位置，那么就要用二分法．例1：函数的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5例2：函数f(x)＝2x＋3x的零点

9、所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)例3：若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx－二：用二分法求函数零点近似值用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度；（2）求区间(a,b)的中点；（3）计算f();①当f()=0,则就是函数的零点；②若f

10、(a)·f()<0,则令b=(此时零点)，③若f()·f(b)<0,则令a=(此时零点)。(4)判断是否达到其精确度，则得零点近似值，否则重复以上步骤。例4：已知函数求证函数在区间[0，1]上存在惟一的极值点。第9页共9页惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.三：函数的实际应用1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环境保护，工程建设等相关的增长率、最优