几何学走向何方

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1、几何学走向何方？概要科教乃是兴国之途，而基础教育乃立国之本。在基础教育中，数学教育是开发智力和培养逻辑思维的主要学科。自古以来，它一直是教导学生善于认识问题、善于解决问题最佳园地。今天，将集中考察几何学的发展史。题目是,几何学走向何方？我们把它分为两讲：1．从经验几何到解析几何。2．几何学的进一步发展。一．演绎几何的诞生今天中学学的几何学是演绎几何学，它是如何诞生的？它诞生在什么时间，什么地方？它的代表作是什么？§1.从经验几何到演绎几何。1．数和形的交响曲。数学包含两个最基本的组成部分：数和形。数是算

2、术和代数的研究对象，形是几何学的研究对象。数和形的交响曲构成了数学发展史的主旋律。数是无处不在的，因为任何文明想取得科学上的进步，都需要大量关于数的信息。形也是无处不在的，地球、太阳、月亮和我们自身都是一种几何形体。数学史就是数和形的发展史。但是，在数学史上，数的学问和形的学问并不是肩并肩地前进，而是交替前进，时而数的学问领先，时而形的学问领先。今天我们的研究集中在形的学问上。2．通向形的学问。古人是如何研究大自然中丰富多彩的“形”和自己创造的各式各样的“形”呢？他们从观察和实验开始，先研究简单的,再研

3、究复杂的，先研究具体的,再研究抽象的。这样，他们就不断积累几何学的知识。开初这些知识是零散的，孤立的，而后经过整理，成为一个理论体系，几何学就诞生了，并继续发展，到今天几何学已经是一个大的学科体系，其中包含绚丽多彩的各种分支。需要强调的是，观察和实验的研究方法是一种基本的研究方法，直到今天仍然重要。3．经验几何学。几何学是什么时候诞生的？诞生在什么地方？第一个问题无法回答，——源头茫昧信难觅，因为年代太久远了。至于第二个问题，答案是清楚的：在东方，开始于中国；在西方，开始于埃及和巴比伦。几何学的诞生与人

4、类的生产实践活动密切相关。希腊的欧几里得评论家普罗克洛斯（Proclus）这样说：“依据很多的实证，几何学是埃及人创造的,且发生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界线，测量就变成必要的工作。无可置疑，这类科学和其他科学一样，都发生于人类的需要。发生起来的任何知识总是从不完全走向完全。它起源于感性，并逐渐变成我们研究的对象，最后成为理性的财富。”这样，在西方，经验几何就在埃及同时也在巴比伦诞生了。在经验几何阶段，人们对现实空间的各种物体的形状、性质以及它们之间的相互关系进行观察和实验，逐渐确立了空间的一

5、些基本概念和基本性质。经验几何学主要有三方面的成就：21）建立了几何学的最基本的概念，其中包括长度、角度、面积、体积等；2）找到了几何学中最基本的计算公式，如面积公式，体积公式。有些公式还相当复杂，如棱台体积的计算公式，弓形面积的计算公式等。3）发现了几何对象的一些本质联系，如圆的面积与圆直径的平方比是常数。发现了几何学最基本的定理——勾股定理。这些都成为演绎几何学中用来论证、研究其他的空间性质和解决不同的几何问题的基础。缺陷是，没有形成证明的思想，没有形成严密的体系。所以，需要进一步解决的问题是，1）

6、形成证明的思想；2）借助逻辑，将零散的知识整理成严密的体系。从方法论的角度去看，经验几何学是从直觉和直观出发，通过观察、实验、归纳和分析，发现几何问题，提炼几何思想，从而发现了事物内在的本质和联系。这种治学方法在几何学发展的不同阶段上都有着重要的作用。即使在今天，它依然是科学研究中不可缺少的法宝。从教学角度去看，观察、实验、归纳和分析也是必不可少的。§2。希腊人对几何学的贡献1．希腊人对数学思想的贡献。希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何的原理。但是，埃及和巴比伦人的数学基本上是经验的总结，是零散

7、的和乏序的。希腊人将这些零散的知识组成一个有序的、系统的整体。他们努力使数学更加深刻、更加抽象、更加理性化。希腊人对数学思想的主要贡献是什么呢？主要有两条：1）将数和形抽象化。2）建立数学的演绎体系。这两条正是现代数学的核心，也正是中国古代数学所缺少的东西。2．演绎几何的诞生。公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊。在希腊人手里，几何学发生了质的变化。柏拉图说：“无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善，并使之完美无缺。”他们是这么说的，也是这么做的。他们逐步由观察、实验和归纳推进到演绎推理，把几何学

8、的研究推到了高度系统化和理论化的境界，使得人们对于空间的认识和理解在深度上和广度上都大大前进了一步。演绎几何学的建立不是一下子完成的，大约经历了三百多年的时间，中间有许多杰出的数学家和哲学家作了大量艰巨的工作，最后才有欧几里得的《几何原本》的出现。演绎几何学是从什么时候开始的？据记载，开始于古希腊的泰勒斯。泰勒斯被他的同时代人尊为“希腊七贤”之一。他曾到埃及旅游，并把埃及的数学知识传到希腊.通过在波斯旅游，他也受到印度数学思想的影响。泰勒斯