素数连乘积不等式

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1、素数连乘积不等式李联忠（营山中学四川营山637700）摘要：正整数n处于相邻两个素数平方间，则有素数连乘积分布公式（S）和公式（L），再根据素数定理，Mertens定理3推出素数连乘积不等式以及推论1、2、3.关键词：数论；素数；不等式中图分类号：015文献标识码：文章编号：e1定理：素数连乘积不等式：(x)x(1)2ppx先证明引理引理1：若p2,p3，…p…,p,为连续素数，且p

2、n，则n≠o(modp)的12jijj数的个数i1yi(n)n(1).j1pj证明：I.当i=1时,∵p=2,p

3、

4、n11n11∴y(n)nn(1)n(1)i22p1结论成立。Ⅱ.假设i=k时，结论成立，即：k1yk(n)n(1)成立。j1pj当i=k+1时，∵p

5、n，p

6、n，…，p

7、n，据归纳假设12kk1∴yk(n)n(1)j1pj又∵p

8、nk1n∴n≠o(modp)的数有个，即是p的k1k1pk1n1、2、3、…、pk11nn这个倍数。而这个数在去了p,p,,p的倍数后，据归纳假设还余12kppk1k1kn1(1)pk1j1pjkk1n1∴yk1(n)n(1)

9、(1)j1pjpk1j1pjkk1111n(1)(1)n(1)j1pjpk1j1pj∴i=k+1时，结论k11yk1(n)n(1)成立。j1pj由I、Ⅱ可得，当i为任何正整数，结论都成立。所以，若p2,p3，…p…,p,为连续素数，且p

10、n，则n≠o(modp)12jijji1的数的个数yi(n)n(1).j1pj引理1证毕。1x1引理2：若(x)(1)，则e≤(x)≤0.75pxpk1kx1证明：设(x)lnxk

11、1kx1∴lnx(x)k1k1x11∴(x)(1)=(1)(lnx(x))pxpk1kpxp根据Mertens定理31e1(1)O(2)pxplnxlnx1x11∴(x)(1)=(1)(lnx(x))pxpk1kpxpe1=(O())(lnx(x))2lnxlnx2e((x))lnx(x)=eO()2lnxlnx∴(x)是波动减小的，波幅也减小。1x1∵lim(x)lim

12、(1)xxpxpk1ke1=(O())(lnx(x))=elim2xlnxlnx1x1∴e≤(x)(1)≤(2)=0.75pxpk1k即e≤(x)≤0.75引理2证毕。引理3（素数连乘积分布定理）：若p2,p3，…p…,p,p为连续素数，12kii122pn＜p则不大于n的素数个数公式为ii1isk122（S）π(n)=(pk1pk)(1)O((n))（logpkpsk）k1j1pj或l1（L）π(

13、n)=n(1)O((n))（logppl）pij1j2222证明：∵n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+(pp)+…+(pp)k1ki1i22∴根据引理1，区间［p,p）的素数个数可近似表示为kk1k221(pk1pk)(1)j1pj2pk1因为p到之间的数，去p2,p3，pp…p…,p的倍数后，k12utjk1pk12余下的数的个数大于，这不是因为p∤n导致的，而是因为当p=p>p/p1时，p到jtk1kkpk2pk1之间的数没有p的倍数，所以在去

14、掉p2,p3，pp…p…p,的倍j12utjk1pk3数后，余下数中，p的倍数个数不是kp2p2t1k1i1i11(1)(1)piu1pujtpj而是p2p2t1i1i1(1)piu1pu222pk1这不是p是否整除n的问题，而是n受pn＜p限制，而使p到之间的数kk1kpk没有达到有p…,p的倍数的范围，前面证明引理1时，去p2,p3，…p…,pjk112jk1的倍数后，再去p的倍数，减去的是kp2p2t1k1i1i11(1)(1)piu

15、1pujtpj22而n受pn＜p限制，实际是ii1p2p2t1i1i1(1)piu1pup2p2t1p2p2t1k1i1i1i1i11∵(1)>(1)(1)piu1pupiu1pujtpj所以，少减了，为了与引理1有相吻合的表达式，也避免向后演绎