《导数》中的数学思想方法

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1、《导数》中的数学思想方法江苏省大丰市南阳中学万海鹏224100邮箱：wanhaip7766@163.comQQ：99521457数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用．下面就《导数》一章里的数学思想方法总结如下：　　一、方程思想与待定系数法　　所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．　　方程思想在《导数》中随处可见，与它同时出现的是待定系数法．在确定函数表达式或求函数表达式的系数等方面都可以根据方程思想，通

2、过待定系数法来实现．　　例1　已知，求的最大值．　　分析：先求出定积分的值，即将问题转化为关于的二次函数，然后求解．　　解：．　　即．　　所以当时，有最大值为．　　说明：方程思想是一种重要的数学思想，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结构构造方程（组）．这种思想在代数、几何及实际中有着广泛的应用．　　二、转化思想　　等价转化是把未知的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉甚至模式化、简单的问题．不断培养和训练自觉地转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．例2　已知函数在上单调

3、递增，求实数的取值范围．　　分析：由在上是增函数可知，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．　　解：．　　因为在上是增函数，　　所以，即在上恒成立，　　所以即解得．　　所以实数的取值范围是．　　三、数形结合思想　　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．　　例3　设为实数，函数．　　（1）求的极值；　　（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．　　解：（1），若，则，．　　当变化时，、变化情况如下表：极大值极小值　　所以的极大值是，极小值是；　　（2）函数．　　由此可知，取足够大的正数时

4、，有；取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点，从图形中可知（的单调性）：　　当的极大值即时，它的极小值也小于，因此曲线在上与轴仅有一个交点．　　当的极小值即时，它的极大值也大于，因此曲线在上与轴仅有一个交点．　　所以当时，曲线与轴仅有一个交点．　　四、分类与整合思想　　分类与整合是重要的数学解题思想．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决时，整个问题也就解决了．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再合零为整”的解题策略．　　例4　已知，求函数的极值点的个数．　　分析：按照求极值的基本方法，首先由方程求出在函

5、数在定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．　　解：　　．　　令，得．　　（1）当，即或时，方程有两个不同的实数根、，不妨设，　　于是，从而有下表：为极大值为极小值　　即此时有两个极值点．　　（2）当，即或时，方程有两个相同的实根．　　故当时，；当时，，因此无极值点．　　（3）当，即时，，，故为增函数，此时无极值点．　　因此当或时，有2个极值点，当时，无极值点．　　说明：在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件的综合运用．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，只有同时满足附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．错误判断极值点或漏掉极值

6、点是同学们易犯的错误．五、构造法　　在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为“构造法”．　　例5　已知，．（1）求函数的最大值．（2）设，证明：．　　分析：该题属于典型的利用导数证明不等式的题型，一般先构造函数，再用所构造函数的导数的正负来证明，在证明的过程中通常要分类处理．解：（1）的定义域是，则，解得．当时，；当时，．又，则当且仅当时，取最大值．（2）的定义域为，则．　　设．则．当时，，因此在上为减函数；当时，

7、，因此在上为增函数．从而当时，取极小值．又因，，　　所以，即．设，　　则．当时，，在上为减函数．因为，，所以，　　即．　　综上所证结论成立．　　说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即以什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．