导数的思想方法和基本理论

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1、导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。本文对2007年数学高考试题中有关运用导数解决问题的试题进行分析，看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值。 　　在我国现在中学数

2、学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。在2007年各省高考试题中，我们不难发现导数的应用在中学数学中是非常广泛的，涉及到了中学数学的各个方面，具体如下： 　　（一）在函数方面的应用1．1函数单调性的讨论函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断正负有困难时选用导数就会很方便。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。 江

3、西卷12．设在内单调递增，，则是的（　B　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件   Ｃ．充分必要条件    Ｄ．既不充分也不必要条件 安徽卷18．设，．令，讨论在内的单调性。 解：根据求导法则有，故，于是，   当时，，当时，故知在内是减函数，在内是增函数。．陕西卷20．设函数，其中为实数．（II）当的定义域为时，求的单调减区间．解：，令，得．由，得或，又，时，由得；       当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．浙江卷22设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；解：．

4、由，得．　因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．分析：这类求函数单调区间的问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这类题型中，首先对求导；再令或，通过解关于的不等式，即可得到的单调递增（减）区间. 1．2函数的最值（极值）的求法 最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。一般地，函数闭区间[a，b]上可导，则在[a，b]上的最值求法：①求函数在（a，b）上的驻点；②计

5、算在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。江苏卷13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_32__．辽宁卷12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（C ）A．0是的极大值，也是的极大值    B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值    D．0是的极小值但不是的极值天津卷20．已知函数，其中．当时，求函数的单调区间与极值．　解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况

6、如下表： 00递减极小值递增极大值递减所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．　函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00递增极大值递减极小值递增所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．　　函数在处取得极小值，且． 分析：本小题考查两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。湖北卷20．已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同

7、．（I）用表示，并求的最大值；解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．　　，，由题意，． 　　即由得：，或（舍去）． 　　即有．令，则． 　　于是当，即时，；当，即时，．　　故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为． 　　分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，实质是确定新构造函数的最大值。 　　（二）在不等式证明方面的应用 　　利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的

8、单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。江苏卷9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，　　则的最小值为（C　）      Ａ．     Ｂ．     Ｃ．     Ｄ．安徽卷18．设，．（Ⅱ）求证：当时，恒有．证明：由知，的极小值．于是由（Ⅰ）知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调递增．