第六章 保形映射

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1、第六章保角映射保角映射在热力学、空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应用.本章从解析函数导数的几何意义出发，引出保角映射的概念，重点讨论分式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质.§6.1解析映射的一般性质§626.2分式线性映射§6.3确定分式线性映射的条件§6.4分式线性映射的应用§6.5指数函数和对数函数确定的映射§6.1解析映射的一般性质回顾：(1)保角性Arg()Arg()wtwtArg()Arg().ztzt201020101和2在w0处的夹角C1和C

2、2在z0处的夹角C2C222wfz().z.0CwC11011过z两条光滑曲线C、C在z处夹角的大小与方向0120和在映射w=f(z)下的像、在w处夹角的大小与120方向相同,即时fz()0,映射w=f(z)具有保角性.0(2)fz()的几何意义0fzfz()()wwwt()000fz()limlim.0zz00zzzzzzz()t000y(z)wf(z)v(w)zt()0.Pwt()0Q.PzCw0.zzQ0.ww0wwz0w00Ox

3、Ou当时fz()0,f()z是映射w=f(z)在z处的伸缩000率.它与C无关,即映射w=f(z)具有伸缩率不变性.1保角映射的概念定义6.1设w=f(z)在点z的邻域内有定义.如0果w=f(z)在z处具有保角性和伸缩率不变性,则称0映射w=f(z)在z处是保角映射.如果w=f(z)在区域0D内的每一点都是保角映射,则称w=f(z)是区域D上的保角映射.定理6.1若w=f(z)在z0处解析,且则fz()0,0w=f(z)在z处是保角映射.若w=f(z)在区域D解析,0且在D内fz()

4、0,则w=f(z)是区域D上的保角（形）映射.例1w=z2在z0处是保角映射,但在z=0处不具有保角性.解因为wz2,所以当z0时,w0.因此在z0处,w=z2是保角映射.当z=0时,在z平面内取过z=0点的两条射线为iargz0(正实轴)和argz0.zrey2v222i(z)wz(w)zre不保角x2uOO22关于保角映射的一般理论实际上,定理6.1的逆定理也成立.因此映射w=f(z)是区域D上的保角映射的充分必要条件是f(z)在D内解析,并且fz

5、()0.并且可以证明如果f(z)是区域D上不恒为常数的解析函数,则点集G=f(D)是w平面上的区域,即解析函数把区域映射成区域.即具有保域性。基本问题:(()1)给定两个区域D和G,是否存在双方单值的保角映射,把D映射成G?(存在性问题)(2)如果存在这样的映射,如何求出?(实现性问题)关于存在性问题，有下面的Riemann定理.定理6.2如果D和G分别是z平面和w平面平面上边界多于一个点的单连通区域,则存在双方单值的保角映射w=f(z),把D映射成G.Riemann定理中的保角映射f(z)

6、不不定一定惟惟一.但如果再加一些条件,如f()zwfz00,Arg()00(其中zDwG,,02),则存在惟一的保000角映射w=f(z),使得Gf().D关于实现性问题,可利用下面的边界对应原理.定理6.3设D是z平面内由一条分段光滑Jordan曲线C围成的区域,f(z)是D及其边界C上的解析函数，并把C双方单值地映射成w平面上的光滑曲线.如果C的正向映射成的正向,则在映射w=f(z)下,C的内部区域D映射成正向的左侧(若也是JoJodrdan曲线,则映射成

7、的内部)区域;如果C的正向映射成的负向,则C的内部区域映射成的右侧(若也是Jordan曲线,则映射成的外部)区域.对于C不是Jordan曲线的情况也可得出类似的边界对应原理结论,并且在边界的个别点不满足双方单值的情况也成立,但在这些点不能保证保角性.结论:在解析映射下,C的内部不是映射成像的内部就是映射成像的外部.如果C或中有直线,则按直线的某一侧来理解.方法1在C内任取一点z,如果z的像w在000内部则C的内部映射C成的内部;如果z0的像zz0w00w在外部,

8、则C的内部0w0映射的外部.方法2在C上取三个点zzz123,,,如果环绕方向z123zz与它们的像www123,,在上的环绕方向www相同,则C的内部映射成的内部;123如果环绕方向相反,则C的内部映射成的外部.CC..zz33..ww112ww33..zz11....ww212..zz22例2求区域Dzxy1001,x0,y0在映射w=f(z)=z2下的像G=f(D).y解显然,w=z2在D内处处可(z)导，且f()0,z因此f(z)是DD上保角映射.由