15第六章共形映射

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1、第六章共形映射§1.共形映射的概念补充概念:映射的概念映射的定义:一.导数的几何意义1.伸缩率与旋转角若极限存在，则称此极限值为曲线C经过映射下在点的伸缩率，称角为曲线C经过映射下在点的旋转角.2.伸缩率不变性3.旋转角不变性与保角性例1.求函数在z=i与z=0处的导数，并说明几何意义.一.共形映射的概念定义:对于定义在区域D内的映射，如果它在D内任意一点都具有保角性及伸缩率不变性，则称为第一类保角映射；如果它在D内任意一点都保持曲线的交角的大小不变但方向相反，且伸缩率不变，则称为第二类保角映射.定理1若函数在区域D内解析，且恒成立，则它所构成的映射为第一类保角映射.例1.考察映射.定义设是

2、区域D内的第一类保角映射，且对于任意，有成立，则称为共形映射.例2.判断是否为共形映射.§2.共形映射的基本问题一.解析函数的保域性与边界对应原理定理2（保域性定理）设函数在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合为区域.定理3（边界对应原理）设区域D的边界为简单闭曲线C，函数在上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线.当z沿着C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为的正向，并令G是以为边界的区域，则将D共形映射成G.例1.设区域，求D在映射下的像集.二.共形映射的存在惟一性定理4（黎曼存在惟一性定理）设D和G是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两个点，则一定存在解析函数把D保形地映射为G.

3、如果在D内和G内再分别任意指定两个点和，并任给一个实数，要求函数满足则映射是惟一的.§3.分式线性映射由分式线性函数构成的映射称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射.特别地，当时，则称为（整式）线性映射.一.分式线性映射的分解结论：任意一个分式线性映射都可以分解为以下四种映射.例1.将分式线性映射分解.1.平移、旋转与相似映射2.反演映射结论反演映射是由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成.二.分式线性映射的保形性定理5分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.一.分式线性映射的保圆性定理6在扩充复平面上分式线性函数把圆映射为圆.例2.求实轴在映射下的像曲线.例3.求区域在映射下的像.四.分

4、式线性映射的保对称点性引理扩充复平面上的两点关于圆C对称的充要条件是通过与的任意圆都与圆C正交.定理7（保对称点定理）设关于圆C对称，则在分式线性映射下，它们的像点关于C的像曲线对称.例8求一分式线性映射，将单位圆内部变为上半个平面.五.惟一决定分式线性映射的条件定理8在z平面上任给三个不同的点，在w平面上任给三个不同的点，则存在惟一的分式线性映射，把分别依次地映射为.（对应点公式）推论1如果或中有一个是，则只需将对应点公式中含的项换为1。推论2设为一个分式线性映射，且有则它可表示为（k为复常数）；特别地，当时，有（k为复常数）。例9将区域映射为第一象限，求映射函数。六.两个典型区域间的映射

5、例10求一分式线性映射，把上半平面映射为单位圆内部。例11求一分式线性映射，把单位圆内部映射为单位圆内部。例12求一分式线性映射，把区域映射为区域，且满足。